2016年全国高中数学联赛加试T2解答

2016年全国高中数学联赛加试T2解答

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加试T2为平面几何。
　　题意如图，$O_1，O_2$分别为三角形$XAC,YAB$外心。$BX\times AC=CY\times AB$，求证:$AU=AV$

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我仍然使用最擅长的三角法计算。本题计算的难度在于$O_1{O}_2$这条直线悬浮在空中，为了计算，必须要找到能依靠的边和角，而A为两圆的公共点，外心可以导角和，所以我处理的时候依靠图形$A{O}_1{O}_{2}UV$，而这个熟悉的图形又想到张角定理，这个思路十分自然，事实证明这个思路证明题目很快。

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因为$O_1{O}_{2}UV$顺序不定，所以认为角有方向，以逆时针为正。
　　
　　在$A{O}_1{O}_{2}U$中使用张角定理，则
　　$\frac{A{O}_1}{sinUA{O}_2}+\frac{A{O}_2}{sin{O}_{1}AU}=\frac{AU}{sin{O}_{1}A{O}_2}$
　　
　　同理在$A{O}_1{O}_{2}V$也有类似结论，由于等式右边仅仅$AU,AV$不同，所以为了证明$AU=AV$，只需证等式左边相等，再利用外心导角求出各个角并化简，有原命题等价于:
　　$\frac{cosY+cos(A+Y)}{R_1}=\frac{cosX+cos(A+X)}{R_2}$
　　
　　利用正弦定理求出$R_1,R_2$，利用和差化积化简分子，等价于:
　　$\frac{sinCsin(\frac{B+C}{2}-Y)}{sinY}=\frac{sinBsin(\frac{B+C}{2}-X)}{sinX}$
　　
　　利用和角公式化简，只需证:
　　$sinCsin\frac{B+C}{2}cotY-sinCcos\frac{B+C}{2}=sinBsin\frac{B+C}{2}cotX-sinBcos\frac{B+C}{2}$

把条件利用正弦定理化为:
　　$sinXsin(C-Y)=sinYsin(B-X)$

可验证这个式子和需要证明的式子等价。

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这个解答只能算一个思路，计算过程省略了不少，但是没有实质性难度。如果是联赛，需要详细证明一下张角定理的推广形式(允许面积和角有正负)。