ISOMAP(等规度映射方法)

ISOMAP算法是在MDS基础上发展起来的一种非线性维数约简方法,通过利用样本间的测地距离来保持低维流形空间的距离特性。本文介绍了ISOMAP的基本思想、算法步骤及适用场景。

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* ISOMAP算法
** 基本思想
   Tenenbaum等人提出了ISOMAP算法,这个是建立在MDS(Multi-Dimensional Scaling)之上,是一种非线性维数约简方法.ISOMAP利用所有样本的之间的测地距离矩阵代替MDS中的距离矩阵.从而保持低维流形空间的测地距离.
** 算法步骤
1) 构造近邻图
   定义一个包含所有样本的图G,如果样本点Xi和Xj的欧氏距离d(Xi, Xj)小于一个阈值ξ或者Xj为Xi的k近邻点,那么Xi与Xj相连,并且边权重为d(Xi,Xj)
2) 计算最短路
   如果两个点Xi与Xj有边,那么距离为dg(Xi, Xj) = d(Xi, Xj),否则为正无穷,然后设置l为1,2,3...,n,任意两个点之间的最短路为dg(Xi, Xj) = min{dg(Xi, Xk) + dg(Xk, Xj), dg(Xi, Xj)},使用dg矩阵作为距离矩阵
3) 计算d维嵌入
   使用MDS对测地距离矩阵计算低维嵌入,设置ri为矩阵r(Dg)的第i个按照降序排列的特征值,Vij是第i个特征的第j个分量,那么d维嵌入Yj的第i个分量就是sqrt(ri * Vij),其中,r(Dg) = -(HSH)/2, H为中心化矩阵,S=dg^2
** 算法分析
   这是一种保持全局特性的方法,可以反应测地距离,如果高维观测样本所在的低维流形与欧式空间的一个子集是整体等距的,那么就可以用比较理想的结果,但是当流形的曲率较大或者流形上有孔洞的话,也就是
流形等距的欧式空间的子集非凸时,会有较大的误差,并且会导致嵌入变形.
   如果从算法时间复杂度分析,在计算多源最短路使用Floyd算法会有O(n^3)复杂度,使用Dijkstra算法为O(Kn^2logn),使用MDS分解时候,由于距离矩阵为稠密矩阵,那么结果为O(n^3)复杂度.

### ISOMAP等距映射算法原理 ISOMAP(Isometric Feature Mapping)是一种非线性降维技术,旨在保留高维数据中的全局几何结构。该方法通过构建邻接图来近似流形上的测地距离,并利用多维尺度分析(MDS)将这些距离嵌入到低维空间中[^1]。 #### 构建KNN图或ε-邻域图 为了捕捉局部连通性和保持整体拓扑特性,在原始高维空间内建立节点间的连接关系形成无向加权图G=(V,E),其中边权重表示样本间的真实欧氏距离dij(X)[^3]。 #### 计算最短路径矩阵D 采用Floyd-Warshall算法或其他适用的方法求解每一对顶点vi,vj之间沿图G的最小代价路径长度作为新的相似度量标准——测地距离δij(G)=min{Σk=0m−1dk,k+1|vk∈P(vi→vj)}[1]。 #### 应用经典MDS进行维度约简 最后一步是执行经典的多维缩放变换(classical MDS),使得重构后的坐标尽可能忠实于之前计算得到的所有成对测地距离,从而获得最终的低维表达Y={yi}n×p,p≪D. ```python from sklearn.manifold import Isomap import numpy as np # 假设X是我们要处理的数据集 iso = Isomap(n_components=2) Y = iso.fit_transform(X) print(Y.shape) # 输出形状应为 (N_samples, n_components) ``` 此代码片段展示了如何使用`sklearn`库中的`Isomap`类来进行降维操作。设置参数`n_components`指定目标维度数量即可完成转换过程。 ### ISOMAP的应用场景 作为一种强大的工具,ISOMAP广泛应用于各种领域: - **图像识别**:当面对复杂的视觉模式时,能够有效提取内在特征; - **生物信息学**:帮助理解基因表达谱型背后的潜在规律; - **自然语言处理**:可用于文档分类、主题模型等方面的研究工作;
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