主成分分析（PCA）算法理解

主成分分析（PCA，principle component analysis）算法是一种机器学习中常用的降维算法，这种算法可以用在数据压缩降维，这样可以加快机器学习的速度，PCA还可以用在数据可视化上，因为高维的特征数据是无法观察的，我们可以通过PCA算法将高维的数据降到2维或者3维，这样就可以在坐标系中体现出来。
首先我们来看看PCA降维的原理，假设在$R^n$空间中有m个点{x(1),x(2),...,x(m)}\{ {x^{(1)}},{x^{(2)}},...,{x^{(m)}}\} {x(1),x(2),...,x(m)}，我们希望对这些点进行压缩，当然压缩是有损失的，我们目标是将这些损失减到最小。编码这些点的一种方式就是用低维表示，对于每个点$x^{(i)}\in R^n$，会有一个对应的编码向量$c^{(i)}\in R^l$，$l$表示向量的特征数。我们希望找到一个编码函数，根据我们的输入数据返回编码，$f(x)=c$;当然有编码也有解码，我们也希望找到一个解码函数，这个函数可以重构我们的输入，$x=g(f(x))$。
PCA由我们选择的解码函数而定，为了简化解码器，我们使用矩阵乘法将编码映射回$R^n$，即$g(c)=Dc$，在这个式子中D表示$R^{n\times l}$的解码矩阵。
首先，我们需要明确如何根据每一个输入$x$得到一个最优编码$c^{\ast }$，一种方法是最小化原始输入向量$x$和重构向量$g(c^{\ast })$之间的距离，一般来说，我们使用范数来衡量$x$和$g(c^{\ast })$之间的距离，PCA算法中，我们使用2范数，这样一来PCA算法就可以转化成求最优解的问题：
$$c^{\ast }=\underset{c}{\mathrm{argmin}}{\Vert x-g(c)\Vert }_2$$然而这个问题可以等价成：
$$c^{\ast }=\underset{c}{\mathrm{argmin}}{\Vert x-g(c)\Vert }_2^2$$
这个表达式最小化的部分可以表示成：
$$(x-g(c){)}^T(x-g(c))$$
我们将这个数学表达式进行展开：
$$(x-g(c){)}^T(x-g(c))=x^{T}x-x^{T}g(c)-g(c{)}^{T}x+g(c{)}^{T}g(c)$$
因为$g(c)x^T=(g(c{)}^{T}x{)}^T=x^{T}g(c)$，所以上述公式可以写成：
$$x^{T}x-2x^{T}g(c)+g(c{)}^{T}g(c)$$因为$x^{T}x$与$c$是不相关的，所以我们可以重新调整我们的优化目标函数：
$$c^{\ast }\text{ = }\underset{c}{\mathrm{argmin}}[-2x^{T}g(c)+g(c{)}^{T}g(c)]$$
因为之前定义过$g(c)=Dc$，我们将$g(c)$带入目标函数中可以得到：
$$c^{\ast }=\underset{c}{\mathrm{argmin}}[-2x^{T}Dc+c^T{D}^{T}Dc]$$
为了简化我们的PCA算法，我们假设D是正交矩阵，那么我们就可以将目标函数简化：
$$c^{\ast }=\underset{c}{\mathrm{argmin}}[-2x^{T}Dc+c^T{I}_{l}c]=\underset{c}{\mathrm{argmin}}[-2x^{T}Dc+c^{T}c]$$，简化了目标函数之后，我们可以将目标函数对$c$求偏导：
$$\frac{\partial [-2x^{T}Dc+c^{T}c]}{\partial c}=\frac{\partial [-2c^T{D}^{T}x+c^{T}c]}{\partial c}=-2D^{T}x+2c=0$$
由上述表达式我们可以得到$c=D^{T}x$，那么就有编码函数$c=f(x)=D^{T}x$。为了便于理解，我们可以将2D降维到1D为例，当二位向量向一维向量映射的时候，映射后的数据分布更分散，我们就会认为数据降维的效果就越好，数据的方差就越大，所以我们PCA降维的目标就是最大化投影方差。因为维度是1，所以我们D可以简化成d，因此$x^{(i)}$在d上的投影坐标可以表示成两个向量的内积$(x^{(i)},d)=[x^{(i)}{]}^{T}d$，我们目标要找到这个投影方向d，使得我们的数据$x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)}$在d上的投影方差最大，点更加分散。投影之后的方差可以表示成：$$D(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{({x^{(i)}}^{T}d)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{({x^{(i)}}^{T}d)}^T({x^{(i)}}^{T}d)$$
我们将式子展开可以得到：$$D(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}^T{x}^{(i)}{x^{(i)}}^{T}d=d^T(\sum _{i=1}^n{x}^{(i)}{x^{(i)}}^T)d$$
所以要求解$d$，我们可以将上述式子表示成$\underset{d}{\mathrm{argmax}}=d^T(\sum _{i=1}^n{x}^{(i)}{x^{(i)}}^T)d$，$s.t.d^{T}d=1$。这里我们可以引入拉格朗日乘子，可以得到：
$$F(d,x,\lambda )=d^T(\sum _{i=1}^n{x}^{(i)}{x^{(i)}}^T)d+\lambda (1-d^{T}d)$$我们再将$F(d,x,\lambda )$对$d$求偏导，再令其等于0，可以得到$$(\sum _{i=1}^n{x}^{(i)}{x^{(i)}}^T)d=\lambda d$$，将这个式子带入拉格朗日函数中可以得到：
$$D(x)=d^T(\sum _{i=1}^n{x}^{(i)}{x^{(i)}}^T)d=\lambda d^{T}d=\lambda$$，最终可以很明显地看出$x$投影之后的方差就是协方差矩阵的特征值，我们要找到最大的方差也就是协方差矩阵的最大特征值，最佳投影方向就是最大特征值所对应的特征向量。
以上就是对PCA降维算法的理解，希望对大家在数据降维方面的理解上有所帮助，文中如有纰漏，也请大家不吝指教，谢谢。