矩阵 A乘A的转置是否一定正定？ NO！！！

矩阵 $A^{T}A$ 是否一定正定？NO！

注意，并不要求 $A$ 是方阵，记 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵。则
$$x^T{A}^{T}Ax=(Ax{)}^{T}Ax=\Vert Ax{\Vert }^2\ge 0$$
其中 $x$ 是 $n\times 1$ 的向量， $A^{T}A$ 是 $n\times n$ 的方阵。

由上面的不等式我们知道 $A^{T}A$ 是半正定的。

而且，

1. 如果 $m=n$ ，$A^{T}A$ 是正定的当且仅当 $A$ 是可逆矩阵（满秩）。
2. 当 $m<n$ ， $A^{T}A$ 一定是半正定的。
3. 当 $m>n$ ，看具体矩阵，可能正定，可能半正定。

附录：

关于 case 1的证明，取

$$y=Ax$$
则
$$x^T{A}^{T}Ax=(Ax{)}^{T}Ax=y^{T}y$$
注意一个显而易见的事实, $y^{T}y\ge 0$ 永远成立。

当 $y^{T}y=0$ 意味着 $y=\vec{0}$ ，注意 $y=Ax$，即 $Ax=\vec{0}$ ，当 $A$ 满秩 该方程才只有唯一零解，得证。

关于 case2 的证明:

由于 rank(A)≤min{m,n}=m<nrank(A) \le min\{m,n\}=m<nrank(A)≤min{m,n}=m<n
又 $y=Ax=\vec{0}$ 方程的基础解系的秩 等于 $n-rank(A)>0$
所以，存在 非零向量 使得 $y=AX=\vec{0}$
这不符合 正定的定义。