第六章数学问题 -------- 6.9 天平称重问题【线性同余方程】青蛙的约会

模运算：

　　取模：计算除以m的余数，叫做对m取模

　　同余：将a,b对m取模的结果相同，记为 a ≡ b (mod m)(例如： x % 3 = 2 ===> x ≡ 2(%3)，x余3等于2，和2同余)，即 a mod m == b mod m 如果 a ≡ b (mod m)，且c ≡ d (mod m)，则有 a+b ≡ c+d (mod m) a*b ≡ c*d (mod m)

线性同余方程：　

　　 a,b是整数，形如 ax ≡ b (mod n)，且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。
　　定理：同余方程 ax ≡ b (mod n) 对于未知数 x 有解，当且仅当 b 是 gcd(a,n)的倍数。否则方程无解。且方程有解时，方程有 gcd(a,n)个解。
　　这里根据取余的概念可以得出，假如 a%n = b 的话，可以写出一个等式 a = n*t +b；　
　　求解线性同余方程的方法：这里根据上面很容易得出下面两个等式：

　　　　ax = n*y1 + 余数
　　　　b = n*y2 + 余数

　　上面两式相减得 ax - b = n(y1-y2) ===> ax - b = ny ===> ax + ny = b; （这里的未知数x y不用管正负号，因为最后求解出来的结果x y自带正负号。）

　　那么根据这个等式采用扩展欧几里得算法就能够得出 x 的值。也就解出了线性同余方程。

例题：青蛙的约会

　　思路：因为线总长L，青蛙需要循环跳才有可能碰面。而循环跳的话那么它们的位置只能通过对L取余得到（可以对比钟表转圈理解）。根据题意，假设它们需要跳k次才能碰面，那么很容易得出这个同余组x+k*m ≡ y+k*n (mod L)。而根据上面的讲解我们也可以得到下面两个等式：

　　　　x + k*m = L*t1 + 余数
　　　　y + k*n = L*t2 + 余数

　　还是上面两式相减得到 x - y + (m-n)*k = L * t ===> (m-n)*k + L * t = y - x 这里已知的变量有 m n L y x，所以未知的变量为 k t

　　然后再对比扩展欧几里得算法求线性方程的等式 ax+by = m 所以可以得出 a = m - n，b = L，m = y - x。

　　然后根据上面写代码即可：

import java.util.Scanner;

// 求解同余方程的本质就是求线性方程
// 将求余方程转化为线性方程
public class 青蛙的约会 {
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        long x = scanner.nextInt();  // 坐标
        long y = scanner.nextInt();  // 坐标
        long m = scanner.nextInt();  // A第一次跳
        long n = scanner.nextInt();  // B第一次跳
        long l = scanner.nextInt();  // 维度总长
        
        long a = m-n;
        long b = l;
        m = y-x;
        long d = 0;
        try {
            d = ExtGcd.linearEquation(a, b, m);
        } catch (Exception e) {
            System.out.println("Impossible");
        } // 求解线性方程
        long x0 = ExtGcd.x;
        b /= d;  // 约一下
        b = Math.abs(b);  // 有可能小于0
        /*=========这里是AC的关键===========*/
        x0 = (x0%b+b)%b; // 要求大于0的第一个解
        System.out.println(x0);
    }
    
    // 私有的静态的内部类
    private static class ExtGcd{
        static long x,y;
        
        public static long ext_gcd(long a,long b){
            if (b==0) {
                x = 1;
                y = 0;
                return a;
            }
            long res = ext_gcd(b, a%b);
            long x1 = x;
            x = y;
            y = x1-a/b*y;
            return res;
        }
        
        public static long linearEquation(long a,long b,long m) throws Exception{
            long d = ext_gcd(a, b);
            if(m%d!=0) throw new Exception("无解");
            long n = m / d;
            x *= n;
            y *= n;
            return d;
        }
    }
}

　　结果：