初等数论_6 2016.4.15

四、欧拉函数

1、定义
在数论中，对于正整数n，欧拉函数就是小于n的数中与n互质的数的数目。
此函数以其首名研究者欧拉命名(Ruler’so totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。

例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
φ(24)=8，因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。

通式：

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1）。

注意：
每种质因数只一个。
比如12=2*2*3那么φ（12）=12 * （1-1/2）* (1-1/3)=4

2、基本性质
①若N是质数p的k次幂，φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质
②当N是质数时，φ(N) = N-1
③除了N=2,φ(N)都是偶数
④小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2
⑤欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)
⑥当N为奇数时，φ(2*N)=φ(N)

HDU 2824 The Euler function

解题思路：
筛选法打欧拉函数表

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 3000000 + 10;
int Euler[maxn];

void Init(void);

int main()
{
    Init();
    int a, b;

    while (scanf("%d%d", &a, &b) != EOF) {
        LL ans = 0;
        for (int i=a; i<=b; ++i) {
            ans += Euler[i];
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}

void Init(void)
{
    for (int i=1; i<maxn; ++i) {
        Euler[i] = i;
    }
    for (int i=2; i<maxn; ++i) {
        if (Euler[i] == i) {
            for (int j=i; j<maxn; j+=i) {
                Euler[j] = Euler[j] / i * (i-1);
            }
        }
    }
}

HDU 2588 GCD

题意：
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and Gcd(X,N)>=M.

解题思路：
设ai为N的大于等于M的约数
那么答案就是n/ai的欧拉函数之和

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int Euler(int n);

int main()
{
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
    int T;

    scanf("%d", &T);
    int N, M;
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &N, &M);
        int ans = 0;
        for (int i=1; i*i<=N; ++i) {
            if (N%i == 0) {
                if (i >= M) {
                    ans += Euler(N/i);
                }
                if (N/i != i && N/i >= M) {
                    ans += Euler(i);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

int Euler(int n)
{
    int ret = n;
    for (int i=2; i*i<=n; ++i) {
        if (n%i == 0) {
            ret = ret/i*(i-1);
            while (n%i == 0) {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if (n != 1) {
        ret = ret/n*(n-1);
    }
    return ret;
}

HDU 4983 Goffi and GCD

转自http://blog.youkuaiyun.com/yanghuaqings/article/details/47167875

题意：
给出一组n和k，求解满足公式：gcd(n-a,n)*gcd(n-b,n)=n^k的(a,b)的个数
结果对(1e9+7)取模

解题思路：

Gcd(x, n) = Gcd(n-x, n)

Gcd(n-a,n)*Gcd(n-b,n)=n^k可以化为Gcd(a,n)*Gcd(b,n)=n^k

gcd(a,n)<=n，gcd(b,n)<=n
所以gcd(a,n)*gcd(b,n)<=n^2

当n=1时，只有1解
当k>2时，无解
当k=2时，只有a=b=n时，Gcd(a,n)=n，Gcd(b,n)=n，Gcd(a,n)*gcd(b,n)=n^2，即只有1解

当k=1时，就是求Gcd(a,n)*Gcd(b,n)=n

如果Gcd(a,n)=x，则Gcd(b,n)=n/x，这里只要枚举x，求n/x即可
x是a和n的最大公约数，那么x就是n的因数，因此枚举n的因数就可以了

对于每一个x可能会有多个a（1<=a<=n）存在，使得Gcd(a,n)=x，假设存在ma个
那么对于每一个n/x，同样会有多个b（1<=b<=n）存在，使得Gcd(b,n)=n/x，假设存在mb个
ma，mb可以用欧拉函数求解

那么对于一个x，如果x*x!=n，那么就存在2*ma*mb
对结果
如果x*x==n，那么就存在ma*mb对结果。

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

int mod = 1e9 + 7;

LL Euler(int n);

int main()
{
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n, k;

    while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
        if (n == 1) {
            printf("1\n");
        } else if (k > 2) {
            printf("0\n");
        } else if (k == 2) {
            printf("1\n");
        } else {
            LL ans = 0;
            for (int i=1; i*i<=n; ++i) {
                if (n%i == 0) {
                    if (i*i == n) {
                        ans += Euler(n/i) * Euler(i);
                    } else {
                        ans += 2 * Euler(n/i) * Euler(i);
                    }
                    ans %= mod;
                }
            }
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

LL Euler(int n)
{
    LL ret = n;
    for (int i=2; i*i<=n; ++i) {
        if (n%i == 0) {
            ret = ret/i*(i-1);
            while (n%i == 0) {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if (n != 1) {
        ret = ret/n*(n-1);
    }
    return ret%mod;
}