第1章 整数 |《初等数论及其应用》

数和序列

良序性质

每个非空的正整数集合都有一个最小元

• 所有整数的集合不是良序的。

有理数

可以被写为整数的比的数的集合（若存在整数p,q ≠ 0，使得r = p / q，则称实数r为有理数）

代数数

a被称为代数数，若它是整系数多项式的根。反之则为超越数（e, Π）。

最大整数函数（取整函数floor）

记实数x中的最大整数为[x]，是小于或等于x的最大整数，即[x]是满足

[x] <= x < [x]+1

的整数。

• 向下取整[x] floor()
• 向上取整ceil()
• 若n为整数，则对任意实数x，都有[x+n] = [x] + n
• 分数部分{x} = x - [x]

丢番图逼近

实数a的前n个倍数中，至少有一个实数与最接近它的整数的距离小于1/n。

• 一个实数和与之最接近的整数的距离不超过1/2

迪利克雷逼近定理

如果α是一个实数，n是一个正整数，则存在整数a和bÿ