第1章 整数 |《初等数论及其应用》

数和序列

良序性质

每个非空的正整数集合都有一个最小元

• 所有整数的集合不是良序的。

有理数

可以被写为整数的比的数的集合（若存在整数p,q ≠ 0，使得r = p / q，则称实数r为有理数）

代数数

a被称为代数数，若它是整系数多项式的根。反之则为超越数（e, Π）。

最大整数函数（取整函数floor）

记实数x中的最大整数为[x]，是小于或等于x的最大整数，即[x]是满足

[x] <= x < [x]+1

的整数。

• 向下取整[x] floor()
• 向上取整ceil()
• 若n为整数，则对任意实数x，都有[x+n] = [x] + n
• 分数部分{x} = x - [x]

丢番图逼近

实数a的前n个倍数中，至少有一个实数与最接近它的整数的距离小于1/n。

• 一个实数和与之最接近的整数的距离不超过1/2

迪利克雷逼近定理

如果α是一个实数，n是一个正整数，则存在整数a和b，1 <= a <= n，使得|aα - b| < 1/n

• 强迪利克雷逼近定理：若α是实数，n为正整数，则存在整数a和b使得1 <= a <= n且|aα - b| <= 1 / (n+1)
• 若α为无理数，则存在无穷多个正整数q，对于每个q存在一个整数p，使得|α - p/q| <= 1 / q^2

序列

{an}是一列数aq, a2, a3, …

• 整数平方序列
• 2的乘方序列
• repeat [0, 1]; a(n) = n mod 2; parity of n.
• 谱序列：实数α的谱序列是第n项为[nα]的一个序列

可数

一个集合可数，如果它是有限的或者是无穷的，但是与正整数集合之间存在一个一一映射。
反之，称不可数。

• 有理数集合可数
• 实数集合不可数

和与积

• 叠进和：an - a0
• 第n个三角数： tn = n*(n+1)/2
• 第n个五边形数： pn = n*(n-1)/2+(第n个平方数) = (第3n-1个三角数) / 3
• 第n个四面体数：前n个三角数之和
• 1+3+5+7+…+2n-1 = n^2
• n! <= n^n
• n < 2^n

斐波那契数

相关性质

• ${\sum }_{i=1}^n$f_k = f_n+2 - 1
• 设n为正整数，α = \frac{1 + \sqrt[2]{5}}{2}， β = \frac{1 - \sqrt[2]{5}}{2}，第n个斐波那契数f_n = \frac{1}{\sqrt[2]{5}} (αⁿ - βⁿ)
• f_n+3 + f_n = 2f_n+2
• f_n+3 - f_n = 2_n+1
• f_2n = f_n² + 2f_n-1f_n (f₀ = 0)
• f_n-2 + f_n+2 = 3f_n (f₀ = 0)

卢卡斯数

L_n = L_n-1 + L_n-2 (n >= 3)(L₁ = 1, L₂ = 3)

• 设n为正整数，α = \frac{1 + \sqrt[2]{5}}{2}， β = \frac{1 - \sqrt[2]{5}}{2}，第n个卢卡斯数L_n = αⁿ + βⁿ

广义斐波那契数

g₁ = a, g₂ = b, g_n = g_n-1 + g_n-2 (n >= 3)

• g_n = af_n-2 + bf_n-1 (n >= 3)

整除性

整除

a | b （a整除b，存在整数c使得b=ac）

• a b c m n整数 a | b, b | c,则c | (ma+nb)
• a b c整数，a | b， b | c，则a | c
• 带余除法：a b为整数且b > 0,则存在唯一的整数q r，使得a = bq+r
• 每个整数都形如4k, 4k+1,4k+2,4k+3（k为正整数）

最大公因子

-a和