【算法】回溯法

回溯法(Backtracking)是一种通过试错来寻找问题解决方案的算法。其核心思想是逐步构建解,当发现当前路径无法得到有效解时,回溯到上一步,尝试其他可能性。它通常用于解决组合优化、排列组合、约束满足等问题(如八皇后、数独、全排列等)。


核心思想

  1. 试错与回退:逐步尝试可能的解,遇到无效分支立即回退。
  2. 剪枝(Pruning):提前终止不可能产生有效解的路径,减少搜索空间。
  3. 递归实现:通过递归函数处理每一步的选择,天然适合分步构建解。

算法框架

result = []  # 保存最终结果

def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        if 选择不合法(剪枝条件):
            continue
        做选择(将选择加入路径)
        backtrack(新路径, 新选择列表)
        撤销选择(从路径中移除选择)

关键步骤

  1. 路径:已做出的选择(如当前已选的元素)。
  2. 选择列表:当前可选的元素。
  3. 结束条件:路径满足问题约束,成为一个有效解。
  4. 剪枝条件:提前跳过无效选择(如重复元素、违反约束等)。

经典问题示例

1. 全排列(Permutations)

问题:给定数组 [1,2,3],返回所有可能的排列。
解法

def permute(nums):
    res = []
    def backtrack(path, used):
        if len(path) == len(nums):
            res.append(path.copy())
            return
        for i in range(len(nums)):
            if not used[i]:
                used[i] = True
                backtrack(path + [nums[i]], used)
                used[i] = False  # 回溯
    backtrack([], [False]*len(nums))
    return res
2. 八皇后问题(N-Queens)

在这里插入图片描述

问题:在N×N棋盘放置N个皇后,使其互不攻击。
解法

def solveNQueens(n):
    res = []
    def backtrack(board, row):
        if row == n:
            res.append([''.join(row) for row in board])
            return
        for col in range(n):
            if isValid(board, row, col):
                board[row][col] = 'Q'
                backtrack(board, row + 1)
                board[row][col] = '.'  # 回溯
    # 初始化棋盘并开始回溯
    board = [['.']*n for _ in range(n)]
    backtrack(board, 0)
    return res

优化策略

  • 剪枝:根据问题特性提前排除无效路径(如组合问题中限制起始位置)。
  • 记忆化:缓存已处理状态,避免重复计算(适用于重叠子问题)。
  • 交换法:通过交换元素减少空间复杂度(如全排列问题)。

时间复杂度

  • 通常为指数级,例如:
    • 全排列:O(n!)
    • 子集问题:O(2^n)
  • 剪枝能显著降低实际运行时间。

适用场景

  • 需要穷举所有可能解的问题。
  • 问题可分解为多步决策,且每一步有有限选择。
  • 约束条件明确,便于剪枝优化。

回溯法通过系统性的试探与回退,结合剪枝策略,能高效解决许多复杂的组合问题。

参考:

演算法學習筆記:回溯法(Backtracking)& 分支定界法(Branch and Bound)

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