回溯法(Backtracking)是一种通过试错来寻找问题解决方案的算法。其核心思想是逐步构建解,当发现当前路径无法得到有效解时,回溯到上一步,尝试其他可能性。它通常用于解决组合优化、排列组合、约束满足等问题(如八皇后、数独、全排列等)。
核心思想
- 试错与回退:逐步尝试可能的解,遇到无效分支立即回退。
- 剪枝(Pruning):提前终止不可能产生有效解的路径,减少搜索空间。
- 递归实现:通过递归函数处理每一步的选择,天然适合分步构建解。
算法框架
result = [] # 保存最终结果
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
if 选择不合法(剪枝条件):
continue
做选择(将选择加入路径)
backtrack(新路径, 新选择列表)
撤销选择(从路径中移除选择)
关键步骤
- 路径:已做出的选择(如当前已选的元素)。
- 选择列表:当前可选的元素。
- 结束条件:路径满足问题约束,成为一个有效解。
- 剪枝条件:提前跳过无效选择(如重复元素、违反约束等)。
经典问题示例
1. 全排列(Permutations)
问题:给定数组 [1,2,3]
,返回所有可能的排列。
解法:
def permute(nums):
res = []
def backtrack(path, used):
if len(path) == len(nums):
res.append(path.copy())
return
for i in range(len(nums)):
if not used[i]:
used[i] = True
backtrack(path + [nums[i]], used)
used[i] = False # 回溯
backtrack([], [False]*len(nums))
return res
2. 八皇后问题(N-Queens)
问题:在N×N棋盘放置N个皇后,使其互不攻击。
解法:
def solveNQueens(n):
res = []
def backtrack(board, row):
if row == n:
res.append([''.join(row) for row in board])
return
for col in range(n):
if isValid(board, row, col):
board[row][col] = 'Q'
backtrack(board, row + 1)
board[row][col] = '.' # 回溯
# 初始化棋盘并开始回溯
board = [['.']*n for _ in range(n)]
backtrack(board, 0)
return res
优化策略
- 剪枝:根据问题特性提前排除无效路径(如组合问题中限制起始位置)。
- 记忆化:缓存已处理状态,避免重复计算(适用于重叠子问题)。
- 交换法:通过交换元素减少空间复杂度(如全排列问题)。
时间复杂度
- 通常为指数级,例如:
- 全排列:O(n!)
- 子集问题:O(2^n)
- 剪枝能显著降低实际运行时间。
适用场景
- 需要穷举所有可能解的问题。
- 问题可分解为多步决策,且每一步有有限选择。
- 约束条件明确,便于剪枝优化。
回溯法通过系统性的试探与回退,结合剪枝策略,能高效解决许多复杂的组合问题。