lucas定理解决大数组合问题

最新推荐文章于 2019-02-11 18:07:00 发布

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本文介绍了一种利用Lucas定理求解组合数c(n,m)模p问题的方法，其中p为素数。通过递归分解n和m，并结合费马小定理进行快速幂运算，有效解决了大数情况下直接计算的困难。

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数论Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。

描述为:

Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

而

cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p

这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p

由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
int n,m;
const int p=10007;
int qpow(int a,int b)
{
    int ans;
    for(ans=1;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)ans=ans*a%p;
    return ans;
}
int getc(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    if(m>n-m)m=n-m;
    ll s1=1,s2=1;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        s1=s1*(n-i)%p;
        s2=s2*(i+1)%p;
    }
    return s1*qpow(s2,p-2)%p;
}
int lucas(int n,int m)
{
    if(m==0)return 1;
    return getc(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%d\n",lucas(n,m));
    return 0;
}