图像算法原理与实践——图像修复之 全变分模型

在图像算法的高层次处理中，有一类很典型的应用，就是图像修复算法。图像在采集、传输、预处理过程中，都可能会发生图像数据被修改、损失和缺失等问题（例如：部分图像内容被污染、雾霾等），另外，在实际室外拍照的时候，可能会将用户不想需要的对象（例如：路人甲等）也摄入照片影像中，需要将这多余图像内容去除。这一类的图像处理算法可以统称为 图像修复，对污染后的图像进行去噪、修补、变换等操作还原原始图像内容。在图像修复中最主要的一类处理就是 图像修补，就是将图像中一小块被污染的区域通过各种算法尽量还原成原始图像。

如果图像中需要修复的区域都比较小，一个常见的算法就是将需要修复区域的邻边像素进行扩散，填补需要修复的区域，从而达到图像修补的目的。

一、图像修补基本概念

在一幅需要修复的图像中，我们将整幅图像用F表示，需要修复的区域块称之为靶区域，用符号D来表示，保留原始图像信息的区域(F-D)称之为 源区域。

例如：在如下图像中，有一块被红色污损的区域，这里我们将红色区域称之为 靶区域，除了红色区域以外的图像区域，称之为 源区域。而我们的传统图像修复算法，就是利用 靶区域 附近的 源像素数据，经过变换拟合来逐渐填充 靶区域的像素，从而达到图像修补的效果。

二、全变分模型原理

关于全变分模型的公式推断比较复杂，主要依据 欧拉-拉格朗日 方程，这里不再详述，直接提供手工推到过程。