模意义下的乘法逆元

逆元定义

如果 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，则称 $x$ 为 $a$ 在模 $p$​ 意义下的乘法逆元。

逆元存在当且仅当 $a\perp p$，即 $\gcd (a,p)=1$​。

将 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 转化可得 $x\equiv \frac{1}{a}(\mathrm{mod}p)$，那么模意义下 $t÷a$ 就相当于 $t\times x$。

快速求单个数的逆元

快速幂

费马小定理

当 $p\nmid a$ 且 $p\in \mathbb{P}$ 时，有
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

由此转化可得 $a\times a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，此时就可以发现 $a^{p-2}$ 即为 $a$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元。

此时可以用快速幂计算逆元，时间复杂度 $O(\log p)$。

扩展欧几里得算法

$\text{Exgcd}$ 也可以用于求逆元。

由裴蜀定理可知，若 $a\perp p$，则必然 $\exists y$，使得 $a\times x+p\times y=1$​ 成立。

容易发现，$a\times x+p\times y=1\iff a\times x\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

使用 $\text{exgcd}$ 解出这个方程即可，时间复杂度 $O(\log p)$。

线性求 $1\sim n$​ 的逆元

例题：loj #110. 乘法逆元。

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现要求在 $O(n)$ 的时间内，求出模 $m$ 的意义下，$[1,m)$ 中所有数的乘法逆元。

容易发现，$\forall m\in \mathbb{Z}$，有 $1\times 1\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，所以 $1$ 的逆元恒为 $1$。

考虑 递推。

假设我们已知 $[1,x)$ 内所有数的逆元，需要求出 $x$ 的逆元。

将模数 $m$ 表示为 $kx+t$，其中 $k=\lfloor \frac{m}{x}\rfloor$，$t=m\mathrm{mod}x$。

由此可得 $kx+t\equiv 0(\mathrm{mod}m)$。

两边同乘 $x^{-1}\times t^{-1}(\mathrm{mod}m)$，可得

$$\begin{array}{r}kx\times x^{-1}\times t^{-1}+t\times x^{-1}\times t^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}m)\\ k\times t^{-1}+x^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}m)\end{array}$$

即可得 $x^{-1}\equiv k\times t^{-1}(\mathrm{mod}m)$​。

在此基础上代入 $k=\lfloor \frac{m}{x}\rfloor$，$t=m\mathrm{mod}x$，可得
$$x^{-1}\equiv -\lfloor \frac{m}{x}\rfloor (m\mathrm{mod}x{)}^{-1}(\mathrm{mod}m)$$
由于 $(m\mathrm{mod}x{)}^{-1}\in [1,x)$，所以 $(m\mathrm{mod}x{)}^{-1}$​ 已知，线性递推即可。

• $\text{PS 1}$：当 $m\mathrm{mod}x=0$ 时 $x$ 不存在模 $m$ 意义下的乘法逆元。
• $\text{PS 2}$：由于 $\text{C++}$ 中负数取模的结果为负数，所以在实际实现时递推式应写为 (m - m / x) * inv[m % x] % m。

综上所述，递推式即为：
$$x^{-1}=\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ -\lfloor \frac{m}{x}\rfloor (m\mathrm{mod}x{)}^{-1}& x\ne 1\end{array}(\mathrm{mod}m)$$
线性递推即可在 $O(n)$ 的时间内完成。

线性求任意 $n$ 个数的逆元

例题：loj #161 乘法逆元 2。

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显然，对于每一个数用 快速幂 / $\text{exgcd}$ 求解，时间复杂度为 $O(n\log p)$，无法通过本题。

考虑使用前缀积 { s n } \{s_n\} {sn​}，其中 $s_i$ 记录 ${\prod }_{j=1}^i{a}_j$​​。

此外需要前缀积的逆元，使用 { t n } \{t_n\} {tn​} 序列，其中 $t_i=s_i^{-1}(\mathrm{mod}p)$。

接下来可以通过 快速幂 / $\text{exgcd}$ 求解 $s_n$ 的逆元，记为 $t_n$​​。

接下来可以通过如下公式线性递推求出 { t n } \{t_n\} {tn​}：
$$t_i\equiv s_i^{-1}\equiv \frac{1}{{\prod }_{j=1}^i{a}_j}\equiv \frac{a_{i+1}}{{\prod }_{j=1}^{i+1}{a}_j}\equiv a_{i+1}\times s_{i+1}^{-1}\equiv a_{i+1}\times t_{i+1}(\mathrm{mod}p)$$
记原序列的逆元为 { inv n } \{\text{inv}_n\} {invn​}，其中 ${\text{inv}}_i=a_i^{-1}(\mathrm{mod}p)$。

由于已知前缀积数组的逆元，那么
$${\text{inv}}_i\equiv a_i^{-1}\equiv \frac{1}{a_i}\equiv \frac{1}{\frac{s_i}{s_{i-1}}}\equiv \frac{s_{i-1}}{s_i}\equiv s_{i-1}\times t_i$$
故递推即可，时间复杂度为 $O(n+\log p)$，其中 $O(\log p)$ 是求 $s_n$ 逆元的复杂度。