集合、映射与函数

一、集合

1. 集合的定义

• 具有一个特定属性的，确定的，有区别的事物（不论是抽象的还是具体的）的全体称为集合，集合中的事物称为元素。

• 若a是集合A中的元素，记为a $\in$ A。

• 若a不是集合A中的元素，记为a $\notin$ A。

2. 集合的特性

• 确定性

• 互异性

• 无序性

3. 集合之间的包含关系

• 两个集合A、B，若 $\forall$ x $\in$ A，都有x $\in$ B，则称A是B的子集，记为A $\subset$ B。

• A $\subset$ B，若 $\exists$ x $\in$ B且x $\notin$ A，则A是B的真子集，记为A $\subseteq$ B。

4. 数集与点集

• 集合中的元素是数，实数集R、整数集Z。

• 集合中的元素是坐标系中的点，{(x, y) | x + y < 3}。

---

二、映射

1. 映射的定义

• 设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，那么称f为从A到B的映射，记作：f : A → B。

• b称为元素a在映射f下的像，记为b = f(a)。

• a称为元素b在映射f下的一个原像。

• A称为映射f的定义域，记作D_f。

• A中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记为R_f。

  • R_f = f(A) = {f(a) | a $\in$ A}

2. 映射的三要素

• 定义域：D_f = A

• 值域：R_f $\subset$ B

• 对应法则

  • 对于每个a $\in$ A，元素a的像b唯一
  • 对于每一个b $\in$ R_f，元素b的原像不一定唯一

3. 满射

• 设f是集合A到集合B的映射，满足R_f = B

4. 单射

• 对于A中的任意两个不同的元素，若a₁ ≠ a₂，则f(a₁) ≠ f(a₂)

5. 双射（一一映射）

• f既是单射，又是满射

6. 逆映射

7. 集合元素的个数

• 如果存在一种映射关系，使A、B两个集合一一映射，则称A、B元素个数相同。

---

三、函数

1. 函数的定义

• 函数是从实数集到实数集的映射

2. 反函数

• 定义：设映射f : D → E为双射（D $\subset$ R，E $\subset$ R），则它的逆映射f^-1 : E → D称为f的反函数。

• 示例：求f(x) = x²，x $\in$ [-2, 2]，y $\in$ [0, 4]的反函数？

  • 原函数：y = x²，x $\in$ [-2, 2]
  • 将x换为y，y换为x：x = y²，x $\in$ [0, 4]
  • 反函数：y = $\sqrt{x}$，x $\in$ [0, 4]

3. 函数的特性

• 单调性
  • 单调递增：x₁ < x₂，f(x₁) < f(x₂)
  • 单调递减：x₁ < x₂，f(x₁) > f(x₂)

增减区间交界处通常是极值点

• 奇偶性
  • 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称
  • 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称

定义域必须对称

• 周期性

4. 基本初等函数

(1) 幂函数 y = x^α（α $\in$ R）

公约数只有1的两个数互质

(2) 对数函数 y = log_αx（α > 0，α $\ne$ 1）

(3) 指数函数 y = α^x（α > 0，α $\ne$ 1）

指数函数与对数函数互为反函数
指数函数与对数函数的图像均关于y = x对称

(4) 三角函数

• 正弦函数 y = αsin(ωx + φ)

  • 振幅：|α|
  • 频率：ω
  • 初始相位：φ
  • 最小正周期：|$\frac{2\pi }{\omega }$|
  • 值域：[-|α|, |α|]
  • 在对称轴ωx + φ = $\frac{\pi }{2}$ + 2k$\pi$处取得最大值（k $\in$ Z）
  • 在对称轴ωx + φ = -$\frac{\pi }{2}$ + 2k$\pi$处取得最小值（k $\in$ Z）

• 余弦函数 y = αcos(ωx + φ)

  • 振幅：|α|
  • 频率：ω
  • 初始相位：φ
  • 最小正周期：|$\frac{2\pi }{\omega }$|
  • 值域：[-|α|, |α|]
  • 在对称轴x = ωx + φ = 2k$\pi$处取得最大值（k $\in$ Z）
  • 在对称轴x = ωx + φ = $\pi$ + 2k$\pi$处取得最小值（k $\in$ Z）

(5) 反三角函数

5.初等函数

• 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。

• 一次函数 y = ax + b（a $\ne$ 0）

  • 定义域：R
  • 值域：R
  • a > 0，函数单调递增
  • a < 0，函数单调递减
  • b = 0，函数过原点，是奇函数

• 二次函数 y = ax² + bx + c（a $\ne$ 0）

  • 定义域：R
  • 对称轴：x = -$\frac{b}{2a}$
  • a > 0：
    • 函数图像开口向上
    • 函数在(-$\infty$, -$\frac{b}{2a}$)区间单调递减；函数在(-$\frac{b}{2a}$, +$\infty$)区间单调递增
    • 函数的最小值在x = -$\frac{b}{2a}$处取得，值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；函数的最大值为+$\infty$
  • a < 0：
    • 函数图像开口向下
    • 函数在(-$\infty$, -$\frac{b}{2a}$)区间单调递增；函数在(-$\frac{b}{2a}$, +$\infty$)区间单调递减
    • 函数的最大值在x = -$\frac{b}{2a}$处取得，值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；函数的最小值为-$\infty$
  • 顶点式：y = a(x - m)² + n，a $\ne$ 0
    • 顶点坐标为(m, n)

---

四、函数

• 函数一定是方程，方程不一定是函数