回文自动机专题

Palindromic Tree——回文树【处理一类回文串问题的强力工具】

num[i]:i表示的回文字符串中有多少个本质不同的字符串(包括本身)

cnt[i]:i表示的回文字符串在整个字符串中出现了多少次

HDU3948 The Number of Palindromes

求本质不同的回文子串个数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1e5+5;
struct Trie
{
    static const int MAXN=26;
    int nxt[MAX][MAXN],f[MAX],cnt[MAX],num[MAX],len[MAX],c[MAX],last,n,L;
    int newnode(int x)
    {
        for(int i=0;i<MAXN;++i) nxt[L][i]=0;
        cnt[L]=num[L]=0;len[L]=x;return L++;
    }
    void init()
    {
        L=0;newnode(0);newnode(-1);
        last=0;n=0;c[n]=-1;f[0]=1;
    }
    int getf(int x)
    {
        while(c[n-len[x]-1]!=c[n]) x=f[x];
        return x;
    }
    void add(int x)
    {
        x-='a';c[++n]=x;
        int cur=getf(last);
        if(!nxt[cur][x])
        {
            int now=newnode(len[cur]+2);
            f[now]=nxt[getf(f[cur])][x];
            nxt[cur][x]=now;
            num[now]=num[f[now]]+1;
        }
        ++cnt[last=nxt[cur][x]];
    }
    void count()
    {
        for(int i=L-1;i>=2;--i) cnt[f[i]]+=cnt[i];
    }
}PT;
char s[MAX];
int t;
int main()
{
    int tc=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        PT.init();
        scanf("%s",s);
        int l=strlen(s);
        for(int i=0;i<l;++i) PT.add(s[i]);
        printf("Case #%d: %d\n",++tc,PT.L-2);//2个根节点
    }
    return 0;
}

BZOJ3676: [Apio2014]回文串

max(cnt[i]*len[i])

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=3e5+5;
struct Trie
{
    static const int MAXN=26;
    int nxt[MAX][MAXN],f[MAX],cnt[MAX],num[MAX],len[MAX],c[MAX],last,n,L;
    int newnode(int x)
    {
        for(int i=0;i<MAXN;++i) nxt[L][i]=0;
        cnt[L]=num[L]=0;len[L]=x;return L++;
    }
    void init()
    {
        L=0;newnode(0);newnode(-1);
        last=0;n=0;c[n]=-1;f[0]=1;
    }
    int getf(int x)
    {
        while(c[n-len[x]-1]!=c[n]) x=f[x];
        return x;
    }
    void add(int x)
    {
        x-='a';c[++n]=x;
        int cur=getf(last);
        if(!nxt[cur][x])
        {
            int now=newnode(len[cur]+2);
            f[now]=nxt[getf(f[cur])][x];
            nxt[cur][x]=now;
            num[now]=num[f[now]]+1;
        }
        ++cnt[last=nxt[cur][x]];
    }
    void count(){for(int i=L-1;i>=2;--i) cnt[f[i]]+=cnt[i];}
}PT;
char s[MAX];
int main()
{
    while(~scanf("%s",s))
    {
        PT.init();
        int l=strlen(s);
        for(int i=0;i<l;++i) PT.add(s[i]);
        PT.count();
        long long ans=0;
        for(int i=PT.L-1;i>=2;--i) ans=max(ans,(long long)1*PT.cnt[i]*PT.len[i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

hihocoder #1589 : 回文子串的数量

统计所有回文串的个数 -cnt之和                                      -(也可以沿着last统计num之和)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=8e5+5;
long long ans;
struct Trie
{
    static const int MAXN=26;
    int nxt[MAX][MAXN],f[MAX],cnt[MAX],num[MAX],len[MAX],c[MAX],last,n,L;
    int newnode(int x)
    {
        for(int i=0;i<MAXN;++i) nxt[L][i]=0;
        cnt[L]=num[L]=0;len[L]=x;return L++;
    }
    void init()
    {
        L=0;newnode(0);newnode(-1);
        last=0;n=0;c[n]=-1;f[0]=1;
    }
    int getf(int x)
    {
        while(c[n-len[x]-1]!=c[n]) x=f[x];
        return x;
    }
    void add(int x)
    {
        x-='a';c[++n]=x;
        int cur=getf(last);
        if(!nxt[cur][x])
        {
            int now=newnode(len[cur]+2);
            f[now]=nxt[getf(f[cur])][x];
            nxt[cur][x]=now;
            num[now]=num[f[now]]+1;
        }
        ++cnt[last=nxt[cur][x]];
    }
    void count(){for(int i=L-1;i>=2;--i) cnt[f[i]]+=cnt[i];}
}PT;
char s[MAX];
int main()
{
    while(~scanf("%s",s))
    {
        PT.init();ans=0;
        int l=strlen(s);
        for(int i=0;i<l;++i) PT.add(s[i]);
        PT.count();
        for(int i=2;i<PT.L;++i) ans+=PT.cnt[i];
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

<think>好的,我现在要仔细想想用户的问题:“回文自动机是什么”。首先,我需要确认用户的基础。可能用户已经了解过自动机理论,比如有限自动机(FA)、后缀自动机(SAM)等,但回文自动机可能是一个相对陌生的概念。用户可能是在学习字符串处理相关算法,或者在解决回文问题时遇到了这个数据结构,所以需要了解其基本原理和应用。 首先,我需要回忆回文自动机的定义。回文自动机,也叫作回文树(Palindromic Tree)或Eertree,是由Mikhail Rubinchik和Maxim信息量大的论文提出的,用于高效处理字符串中的所有回文子串的结构。它能够在线性时间内构建,并存储所有的唯一回文子串,同时支持一些查询操作,比如统计不同回文的数量、最长回文等。 接下来,我需要确定回文自动机的结构。回文自动机由节点组成,每个节点代表一个唯一的回文子串。每个节点包含以下信息:回文的长度、后缀链接(指向当前回文的最长真后缀回文)、以及转移边(用于在添加新字符时扩展新的回文)。根节点有两个,分别对应长度为-1和0的虚根,这是为了处理奇偶长度的回文。 然后,构建过程是怎样的呢?比如,假设字符串是“abba”,如何一步步构建自动机。初始时,创建两个根节点。然后逐个字符处理,维护当前最长回文后缀的位置。当添加新字符时,检查是否可以通过当前节点的转移边扩展,如果不行,则创建新节点,并更新后缀链接。这个过程类似于后缀自动机的构建,但专门针对回文结构。 还需要考虑时间复杂度和空间复杂度。根据文献,回文自动机的构建时间复杂度是O(n),其中n是字符串长度。空间复杂度是O(n),因为每个节点代表唯一的回文子串,而一个长度为n的字符串最多有n个不同的回文子串(比如全相同字符的情况,如“aaaaa”有n个回文子串)。 应用方面,回文自动机可以用于统计所有回文子串的数量、找出最长回文子串、计算每个回文出现的次数等。例如,在解决LeetCode上的回文相关问题时,回文自动机可能提供高效的解决方案。 但用户可能需要更具体的例子来理解。比如,构建过程中的步骤,或者如何通过后缀链接快速跳转。可能还需要比较回文自动机与其他方法(如Manacher算法)的异同。Manacher算法用于寻找最长回文子串,而回文自动机则更全面,能够处理所有回文子串的信息。 此外,用户可能想知道如何实现回文自动机。代码结构大致包括节点结构体的定义(包含长度、后缀链接、转移数组),初始化两个根节点,然后逐个字符处理,维护当前节点,并在必要时创建新节点,同时更新后缀链接。 需要注意的细节包括如何处理奇偶长度的回文。两个根节点中,长度为-1的节点用于处理奇长度回文,比如当添加字符时,从该节点出发可以形成长度为1的回文。而长度为0的节点处理偶长度回文。例如,当添加一个字符,当前节点无法扩展时,通过后缀链接回溯,直到找到可以扩展的位置或者到达根节点。 可能遇到的疑问点包括后缀链接的作用。后缀链接指向当前回文的最长真后缀回文,这在构建过程中帮助快速跳转,避免重复检查。例如,当添加新字符后,如果当前节点无法扩展,通过后缀链接找到可能的位置,减少时间复杂度。 最后,总结回文自动机的优势和适用场景。它适合需要处理多个回文子串的问题,尤其是在需要统计或频繁查询的情况下,而不仅仅是寻找最长回文。与动态规划相比,回文自动机在时间和空间上更高效,尤其是当字符串较长时。</think>回文自动机(Palindromic Automaton),又称回文树(Eertree),是一种专门用于高效处理字符串中所有回文子串的数据结构。它能在线性时间内构建,并支持统计唯一回文数量、查询最长回文等功能。 --- ### **核心原理** 1. **节点定义** 每个节点代表一个唯一的回文子串,包含以下信息: - `len`:回文长度 - `fail`:后缀链接(指向当前回文的最长真后缀回文) - `trans[]`:转移边(记录添加字符后形成的新回文) 2. **虚根设计** 有两个特殊根节点: - 虚根1(奇根):长度为 `-1`,用于处理奇数长度回文(如 `"a"`)。 - 虚根2(偶根):长度为 `0`,用于处理偶数长度回文(如 `"aa"`)。 3. **构建过程** 逐个字符处理字符串,维护当前最长回文后缀节点。每添加字符 `c` 时: - 从当前节点出发,沿后缀链接回溯,直到找到可扩展的节点。 - 若扩展成功,新建节点并更新后缀链接。 --- ### **时间复杂度** - **构建复杂度**:$O(n)$,其中 $n$ 为字符串长度。 - **空间复杂度**:$O(n)$,每个节点对应唯一回文子串。 --- ### **应用场景** 1. 统计所有不同回文子串的数量。 2. 查找最长回文子串。 3. 计算每个回文的出现次数。 4. 结合其他算法解决复杂回文问题(如回文分割、动态回文维护)。 --- ### **示例分析** 以字符串 `"abba"` 为例: 1. 初始状态:仅有虚根奇根(`len=-1`)和偶根(`len=0`)。 2. 添加字符 `a`: - 从偶根出发,形成长度为1的奇回文 `"a"`。 3. 添加字符 `b`: - 从 `"a"` 出发,无法扩展,回溯到奇根后新建节点 `"b"`。 4. 添加字符 `b`: - 从当前节点 `"b"` 扩展,形成 `"bb"`(偶回文)。 5. 添加字符 `a`: - 从 `"bb"` 扩展,形成 `"abba"`(偶回文)。 最终,回文自动机包含所有回文子串:`"a"`, `"b"`, `"bb"`, `"abba"`, `"b"`(末尾单独 `b`)。 --- ### **对比其他方法** - **Manacher算法**:仅求最长回文,时间复杂度 $O(n)$,但无法统计所有回文。 - **动态规划**:需 $O(n^2)$ 时间预处理,空间开销大。 - **回文自动机**:综合高效,适合处理多回文查询问题。 --- ### **代码实现要点** ```python class Node: def __init__(self): self.len = 0 # 回文长度 self.fail = None # 后缀链接 self.trans = {} # 转移边(字符→节点) # 初始化虚根 root_odd = Node() root_odd.len = -1 root_even = Node() root_even.len = 0 root_odd.fail = root_even.fail = root_odd # 初始指向自身 ``` --- 回文自动机通过巧妙的后缀链接和转移边设计,将回文处理效率提升到线性级别,是处理复杂回文问题的利器。
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