前几天，我在读一本C语言教材，有一道例题：
#include <stdio.h>
void main(void){
int num=9; /* num是整型变量，设为9 */
float* pFloat=# /* pFloat表示num的内存地址，但是设为浮点数 */
printf("num的值为：%d/n",num); /* 显示num的整型值 */
printf("*pFloat的值为：%f/n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */
*pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */
printf("num的值为：%d/n",num); /* 显示num的整型值 */
printf("*pFloat的值为：%f/n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */
}
运行结果如下：
num的值为：9
*pFloat的值为：0.000000
num的值为：1091567616
*pFloat的值为：9.000000
我很惊讶，num和*pFloat在内存中明明是同一个数，为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么大？
要理解这个结果，一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方 法。我读了一些资料，下面就是我的笔记。
2.
在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是怎样表示的。
int num=9;
上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为int，值为9（二进制写法为1001）。普通的32位计算机，用4个字节表示int变量，所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001，写成16进制就是0x00000009。
那么，我们的问题就简化成：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？
3.
根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
V = (-1)^s×M×2^E
（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。
（3）2^E表示指数位。
举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。
5.
IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。
然后，指数E还可以再分成三种情况：
（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。
6.
好了，关于浮点数的表示规则，就说到这里。
下面，让我们回到一开始的问题：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？
首先，将0x00000009拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
由于指数E全为0，所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数V就写成：
V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)
显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。
7.
再看例题的第二部分。
请问浮点数9.0，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？
首先，浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001×2^3。
那么，第一位的符号位s=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即10000010。
所以，写成二进制形式，应该是s+E+M，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。这个32位的二进制数，还原成十进制，正是1091567616。
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其实整体来说，浮点数的表示方法跟我以前自己YY的差不多，需要有符号位，有数值位，还要有信息标识小数点的位置。看了这篇文章之后还比较质疑的就是在这种表示下，怎样能方便的实现浮点数的四则运算？怎样实现浮点数到整形甚至是到无符号整形的转换？
设两个浮点数 X=Mx*2Ex ，Y=My*2Ey
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实现X±Y要用如下5步完成：
（1）对阶操作：小阶向大阶看齐
（2）进行尾数加减运算
（3）规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位（就是使用00表示正数，11表示负数，01表示上溢出，10表示下溢出）的补码尾数来说，就必须是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要进行左规或右规处理。
（4）舍入操作：在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。
（5）判结果的正确性：即检查阶码是否溢出
若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；
若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。
现在用一个具体的例子来说明上面的5个步骤
例题：假定X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此处的数均为二进制）， 计算X+Y；
首先，我们要把这两个数变成2进制表示，对于浮点数来说，阶码通常用移码表示，而尾数通常用补码表示。
要注意的是-10的移码是00110
[X]浮： 0 1 010 1100110
[Y]浮： 0 0 110 1101101
符号位 阶码 尾数
（1）求阶差：│ΔE│=|1010-0110|=0100
（2）对阶：Y的阶码小，Y的尾数右移4位
[Y]浮变为 0 1 010 0000110 1101暂时保存
（3）尾数相加，采用双符号位的补码运算
00 1100110
+00 0000110
00 1101100
（4）规格化：满足规格化要求
（5）舍入处理，采用0舍1入法处理
故最终运算结果的浮点数格式为： 0 1 010 1101101
即X+Y=+0. 1101101*210
浮点数的乘除法
（1）阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）
即 [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]补
[Ex-Ey]移= [Ex]移+ [-Ey]补
（2）浮点数的尾数处理：浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理
例题：X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10 求X*Y
解：[X]浮： 0 1 010 1100110
[Y]浮： 0 0 110 1101101
（1）阶码相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补=1 010+1 110=1 000
1 000为移码表示的0
（2）原码尾数相乘的结果为：
0 10101101101110
（3）规格化处理：已满足规格化要求，不需左规，尾数不变，阶码不变。
（4）舍入处理：按舍入规则，加1进行修正
所以 X※Y= 0.1010111*20
具体来源参考：
http://www.cnblogs.com/flyingbread/archive/2007/03/02/660206.html
http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html
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