图像处理 几何变换

I have to remind myself that some birds don’t mean to be caged . Their feathers are just too bright. And when they fly away, the part of you that knows it was a sin to lock them up. DOES rejoice. Still, the place you live in is that much more drab and empty that they’re gone. I guess I just miss my friend. ——《肖申克的救赎》

前言

几何变换，又称空间变换，是图形处理的一个方面，是各种图形处理算法的基础。它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置，其实质是改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。几何变换算法一般包括空间变换运算和插值算法。

几何变换不改变图像的像素值， 只是在图像平面上进行像素的重新安排。适当的几何变换可以最大程度地消除由于成像角度、透视关系乃至镜头自身原因所造成的几何失真所产生的负面影响。几何变换常常作为图像处理应用的预处理步骤， 是图像归一化的核心工作之一。

一个几何变换需要两部分运算：首先是空间变换所需的运算， 如平移、缩放、旋转和正平行投影等， 需要用它来表示输出图像与输入图像之间的(像素)映射关系；此外，还需要使用灰度插值算法， 因为按照这种变换关系进行计算， 输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。

概念

基础概念	说明
图像的几何变换	指用数学建模的方法来描述图像的位置、大小、形状等变换。
几何变换的内容	图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。
几何变换的实质	改变像素的空间位置。

图像集合变换的表达式

( x , y ) = T { ( u , v ) } (x, y) = T\{(u, v)\} (x,y)=T{ (u,v)}

• $(x,y)$为变换后图像像素的笛卡尔坐标，$(u,v)$为原始图像中像素的笛卡尔坐标。
• 变换后，如果$(x,y)=(u,v)$，则变换后的图像仅仅是原图像的简单拷贝。
• 注意，几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。这说明像素的亮度和色彩并不发生变化，仅仅是像素位置发生改变。

齐次坐标表示

• 所谓齐次坐标就是用$N+1$维向量表示$N$维向量。
• 平面上的点$P$的坐标为$(x,y)$，其齐次坐标表示为$(wx,wy,w)$，其中$w$为任意常数。
• 如果规定齐次坐标的第三个分量$w$为$1$，则称为规范齐次坐标。

引入齐次坐标的原因

• 在对图像进行操作时候，经常要对图像连续做几次变换。例如做了平移后再做旋转与缩放。因为旋转、缩放都是线性变换，因此可将旋转和缩放合并成一个变换矩阵来表示，如：

$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{x}_0& y_0& 1\end{array}\right]}^T$$

• 在直角坐标系中，平移不是线性变换，因此不能与旋转、缩放等操作合并成一个变换矩阵。
• 引入齐次坐标后，平移变为线性变换，从而可以采用一个通用的变换模型（仿射变换模型）表示图像的各种几何变换。

仿射变换

$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{x}_0& y_0& 1\end{array}\right]}^T$$

• T仿射矩阵

$$T=\left[\begin{array}{ccc}a& b& p\\ c& d& q\\ m& n& s\end{array}\right]$$

• $abcd$：实现比例变换、旋转变换、偏移变换
• $mn$：实现平移变换、$m$和$n$分别为$X$和$Y$方向的平移量。
• $s$：实现等比例变换
• $pq$：实现透视变换

图像的位置变换

• 所谓图像的位置变换是指图像的大小和形状不发生变化，只是将图像进行平移、旋转、镜像等。
• 图像的位置变换主要是用于目标识别中的目标配准。

平移

• 平移的原理：
  • 在图像平移是将一幅图像中所有的点都按照指定的平移量在水平、垂直方向移动，平移后的图像与原图像相同

平移变换

• 平移的直角坐标公式：

$$\{\begin{array}{ll}x=x_0+\Delta x& \text{(x0,y0)为平移之前的像素坐标}\\ y=y_0+\Delta y& \text{(x,y)为对应像素平移后的坐标}\end{array}$$

• 平移的齐次坐标公式

$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_0& y_0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \Delta x& \Delta y& 1\end{array}\right]$$

平移的逆变换

• 平移的直角坐标公式：

$$\{\begin{array}{ll}x=x_0-\Delta x& \text{(x0,y0)为平移之前的像素坐标}\\ y=y_0-\Delta y& \text{(x,y)为对应像素平移后的坐标}\end{array}$$

• 平移的齐次坐标公式

$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_0& y_0& 1\end{array}\right]=[\begin{array}{cc}x& y\end{array}$$