图像变换

引言

图像和其他信号一样，既能在空间域（空域）处理，也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换为频域，可以更好地分析、加工和处理。因为图像信息的频域处理具有如下的特点：

• 能量守恒，但能量重新分配
• 有利于提取图像的某些特征
• 正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码
• 频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率

从信息的表现形式来讲，所有信息变换方法都可以用于图像变换，但鉴于图像信息数据量大，带宽宽等特点，只有既能大大减少运算量，也能压缩图像数据量，更有利于进一步处理的变换，才进而应用于图像变换中。

图像的几何变换

图像几何变换的一般表达式
图像几何变换就是建立一幅图像与其变换后的图像的个点之间的映射关系，用通用数学表示方式可表示为
$$[u,v]=[X(x,y),Y(x,y)]$$
式中，$[u,v]$为变换后图像像素的笛卡尔坐标；$[x,y]$为原始图像中像素的笛卡尔坐标；$X[x,y]$和$Y[x,y]$分别定义了在水平和垂直两个方向上的空间变换的映射函数。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。如果$X[x,y]=x,Y[x,y]=y$，则有$[u,v]=[x,y]$，即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。

平移变换

若图像像素点$（x,y）$平移到$（x+x_0,y+y_0）$，则变换函数为$u=X(x,y)=x+x_0，v=Y(x,y)=y+y_0$，写成矩阵表达式为
$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]$$
式中，$x_0$和$y_0$分别为$x$和$y$的坐标平移量。

比例缩放

若图像坐标$（x,y）$缩放到$（s_x,s_y）$倍，则变换函数为
$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
式中，$s_x$，$s_y$ 分别为 $x$ 和 $y$ 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。

旋转变换

将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转 $\theta$ 角度，则变换后图像的坐标为
$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

仿射变换

平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。仿射变换的一般表达式为：
$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_2& a_1& a_0\\ b_2& b_1& b_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
仿射变换具有如下性质：

• 仿射变换只有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍然是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。
• 仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。
• 仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。

图像先进行平移，然后进行比例变换，最后进行旋转的复合几何变换表达式为
$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\left\{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]\right\}=\left[\begin{array}{cc}{s}_{x}cos\theta & -s_{y}sin\theta \\ s_{x}sin\theta & s_{y}cos\theta \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{s}_x{x}_{0}cos\theta -s_y{x}_{0}sin\theta \\ s_x{x}_{0}sin\theta +s_y{y}_{0}cos\theta \end{array}\right]$$

显然上式是线性的，故可以表示成如下的线性表达式。
$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_2& a_1\\ b_2& b_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\end{array}\right]$$

从上式可见，平移、比例缩放和旋转变换是仿射变换的特殊情况。设定加权因子$a_i$和$b_i$的值，可以得到不同的变换。例如，当选定$a_2=b_1=1$，$b_2=-0.1$，$a_1=a_0=b_0=0$，这种情况是图像剪切的一种列剪切。

参考：许录平.数字图像处理[M].北京：科学出版社,2007