HDU 5894 hannnnah_j’s Biologica(lucas定理求组合数+乘法逆元)——2016 ACM/ICPC Asia Regional Shenyang Online

原文链接：http://blog.youkuaiyun.com/queuelovestack/article/details/52579555
解题思路:
【题意】
n个位置围成环,m个人坐,要求相邻两个人之间必须至少隔k个位置
问有多少种坐法,结果对1e9+7取模
【类型】
lucas定理求组合数+乘法逆元
【分析】
其实此题可以这么理解

假定一个人已经坐在了某个位置,如图所示
那还剩下n-1个位置,而要求相邻两人之间必须隔k个位置,所以m个人就有m*k个位置不能坐
那剩下的位置数为n-1-m*k,由于一个人已经坐好,那我需要从这些剩下的位置中挑选出m-1个位置供剩下的m-1个人就坐
故组合数为C(n-m*k-1,m-1)
然后因为有n个位置,所以第一个人位置的选法就有n种
再考虑此题中每个人都是一样的,即不同方案仅仅是坐的位置序列不同,那上述做法会重复计算m次
比如有3个人,假设他们坐的位置是(2,4,7),那么,(4,2,7),(7,2,4)是重复计算的
故方案数的最终式子应为[C(n-m*k-1,m-1)*n/m]%1000000007
那求解组合数不用想肯定得用lucas定理,毕竟n和m有点大,直接打表已经存不下结果,且会超时
而除法取模部分,考虑到1000000007是质数,且m<1000000007,所以gcd(m,1000000007)=1,故可以直接采取乘法逆元
【时间复杂度&&优化】

题目链接→HDU 5894 hannnnah_j’s Biologica

/*Sherlock and Watson and Adler*/
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#define eps 1e-9
#define LL long long
#define PI acos(-1.0)
#define bitnum(a) __builtin_popcount(a)
using namespace std;
const int N = 1000005;
const int M = 100005;
const int inf = 1000000007;
const int mod = 1000000007;
__int64 fac[N];
void init()//预处理阶乘
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        fac[i]=i*fac[i-1]%mod;
}
__int64 pow_mod(__int64 a,__int64 b)
{
    __int64 s=1;
    a=a%mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            s=s*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return s;
}
__int64 C(int n,int m)
{
    if(m>n)
        return 0;
    return  fac[n]*pow_mod(fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2)%mod;
}
__int64 Lucas(int n,int m)
{
    if(m==0)
        return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
__int64 Quick_Mod(int a,int b)//快速幂
{
    __int64 res = 1,term = a % mod;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res * term) % mod;
        term = (term * term) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t,n,m,k;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        printf("%I64d\n",((Lucas(n-m*k-1,m-1)*n)%mod)*Quick_Mod(m,mod-2)%mod);
    }
    return 0;
}