算法复习——分而治之篇之逆序对计数问题

算法复习——分而治之篇之逆序对计数问题

以下内容主要参考中国大学MOOC《算法设计与分析》，墙裂推荐希望入门算法的童鞋学习！

1. 问题背景

逆序对：当$i<j$时，$A[i]>A[j]$的二元组$(A[i],A[j])$，例如下图中的$(A[1],A[4])$、$(A[2],A[4])$等。

​ 那么，问题就变成了如何求解数组中逆序对的个数？

2. 问题定义

逆序对计数问题（Counting Inversions）

输入：

• 长度为$n$的数组$A[1..n]$

输出：

• 数组$A[1..n]$逆序对的总数，即${\sum }_{1\le i<j\le n}{X}_{i,j}$，其中，
  $$X_{i,j}=\{\begin{array}{rcl}1,& & A[i]>A[j]\\ 0,& & A[i]\le A[j]\end{array}$$

3. 分而治之

• 分解原问题：把数组$A$二分为两个子数组$A[1..\frac{n}{2}]$，$A[\frac{n}{2}$