对于大指数幂的处理

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#数论 #费马小定理

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本文介绍了在编程比赛中处理大指数幂的方法，主要利用欧拉定理和费马小定理，当指数n为素数时，两者等价。通过示例解释了如何将大指数幂问题转化为快速幂运算来求解模意义下的结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对于大指数幂的处理

一点数论入门知识

打比赛的时候我们经常遇到一个特别大的指数，下面我讲一下通常的处理方式

首先用到一个定理：欧拉定理 a,p互质或者他的简化形式费马小定理 a,p互质

通常 n为素数所以两个定理是一样的。

示例取 7^66666666! %1e9+7;

由费马小定理可知 7^1e9+6%1e9+7=1

所以原式就变成了 7^(66666666!%1e9+6)%1e9+7,快速幂解决

#include <bits/stdc++.h> 
#include <chrono>
#include <windows.h>
using namespace std;      
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
///快速幂
ll fpow(ll a ,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        a*=a;
        a%=mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    ///也不算很暴力的 o(nlog(n))解法  44s（滑稽）
    ll f=7;
    for(int i=1;i<=66666666;i++){
        f=fpow(f,i);
    }
    cout<<f<<endl;
    ///  费马小定理解法 o(n)
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=66666666;i++){
        ans=(ans*i)%(mod-1);
    }
    cout<<fpow(7,ans);
    return 0;
}
///  来自滑稽的问候