87.Scramble String 爬行字符串

Given a string s1, we may represent it as a binary tree by partitioning it to two non-empty substrings recursively.

Below is one possible representation of s1 = “great”:

great
/ \
gr eat
/ \ / \
g r e at
/ \
a t
To scramble the string, we may choose any non-leaf node and swap its two children.

For example, if we choose the node “gr” and swap its two children, it produces a scrambled string”rgeat”.

rgeat
/ \
rg eat
/ \ / \
r g e at
/ \
a t
We say that “rgeat” is a scrambled string of “great”.

Similarly, if we continue to swap the children of nodes “eat” and “at”, it produces a scrambled string”rgtae”.

rgtae
/ \
rg tae
/ \ / \
r g ta e
/ \
t a
We say that “rgtae” is a scrambled string of “great”.

Given two strings s1 and s2 of the same length, determine if s2 is a scrambled string of s1.

这道题定义了一种爬行字符串，就是说假如把一个字符串当做一个二叉树的根，然后它的非空子字符串是它的子节点，然后交换某个子字符串的两个子节点，重新爬行回去形成一个新的字符串，这个新字符串和原来的字符串互为爬行字符串。这道题可以用递归Recursion或是动态规划Dynamic Programming来做，我们先来看递归的解法，参见网友uniEagle的博客，简单的说，就是s1和s2是scramble的话，那么必然存在一个在s1上的长度l1，将s1分成s11和s12两段，同样有s21和s22.那么要么s11和s21是scramble的并且s12和s22是scramble的；要么s11和s22是scramble的并且s12和s21是scramble的。就拿题目中的例子 rgeat 和 great 来说，rgeat 可分成 rg 和 eat 两段， great 可分成 gr 和 eat 两段，rg 和 gr 是scrambled的， eat 和 eat 当然是scrambled。根据这点，我们可以写出代码如下：

解法一：

// Recursion
class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        if (s1.size() != s2.size()) return false;
        if (s1 == s2) return true;
        string str1 = s1, str2 = s2;
        sort(str1.begin(), str1.end());
        sort(str2.begin(), str2.end());
        if (str1 != str2) return false;
        for (int i = 1; i < s1.size(); ++i) {
            string s11 = s1.substr(0, i);
            string s12 = s1.substr(i);
            string s21 = s2.substr(0, i);
            string s22 = s2.substr(i);
            if (isScramble(s11, s21) && isScramble(s12, s22)) return true;
            s21 = s2.substr(s1.size() - i);
            s22 = s2.substr(0, s1.size() - i);
            if (isScramble(s11, s21) && isScramble(s12, s22)) return true;
        }
        return false;
    }
};

当然，这道题也可以用动态规划Dynamic Programming，根据以往的经验来说，根字符串有关的题十有八九可以用DP来做，那么难点就在于如何找出递推公式。参见网友Code Ganker的博客，这其实是一道三维动态规划的题目，我们提出维护量res[i][j][n]，其中i是s1的起始字符，j是s2的起始字符，而n是当前的字符串长度，res[i][j][len]表示的是以i和j分别为s1和s2起点的长度为len的字符串是不是互为scramble。
有了维护量我们接下来看看递推式，也就是怎么根据历史信息来得到res[i][j][len]。判断这个是不是满足，其实我们首先是把当前s1[i…i+len-1]字符串劈一刀分成两部分，然后分两种情况：第一种是左边和s2[j…j+len-1]左边部分是不是scramble，以及右边和s2[j…j+len-1]右边部分是不是scramble；第二种情况是左边和s2[j…j+len-1]右边部分是不是scramble，以及右边和s2[j…j+len-1]左边部分是不是scramble。如果以上两种情况有一种成立，说明s1[i…i+len-1]和s2[j…j+len-1]是scramble的。而对于判断这些左右部分是不是scramble我们是有历史信息的，因为长度小于n的所有情况我们都在前面求解过了（也就是长度是最外层循环）。
上面说的是劈一刀的情况，对于s1[i…i+len-1]我们有len-1种劈法，在这些劈法中只要有一种成立，那么两个串就是scramble的。
总结起来递推式是res[i][j][len] = || (res[i][j][k]&&res[i+k][j+k][len-k] || res[i][j+len-k][k]&&res[i+k][j][len-k]) 对于所有1<=k

// DP 
class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        if (s1.size() != s2.size()) return false;
        if (s1 == s2) return true;
        int n = s1.size();
        vector<vector<vector<bool> > > dp (n, vector<vector<bool> >(n, vector<bool>(n + 1, false)));
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                dp[i][j][1] = s1[i] == s2[j];
            }
        }
        for (int len = 2; len <= n; ++len) {
            for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {
                for (int j = 0; j <= n - len; ++j) {
                    for (int k = 1; k < len; ++k) {
                        if ((dp[i][j][k] && dp[i + k][j + k][len - k]) || (dp[i + k][j][len - k] && dp[i][j + len - k][k])) {
                            dp[i][j][len] = true;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[0][0][n];
    }
};

上面的代码的实现过程如下，首先按单个字符比较，判断它们之间是否是scrambled的。在更新第二个表中第一个值(gr和rg是否为scrambled的)时，比较了第一个表中的两种构成，一种是 g与r, r与g，另一种是 g与g, r与r，其中后者是真，只要其中一个为真，则将该值赋真。其实这个原理和之前递归的原理很像，在判断某两个字符串是否为scrambled时，比较它们所有可能的拆分方法的子字符串是否是scrambled的，只要有一个种拆分方法为真，则比较的两个字符串一定是scrambled的。比较 rge 和 gre 的实现过程如下所示：

r    g    e
g    x    √    x
r    √    x    x
e    x    x    √


     rg    ge
gr    √    x
re    x    x


     rge
gre   √

DP的另一种写法，参考网友加载中..的博客，思路都一样，代码如下：

// Still DP
class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        if (s1.size() != s2.size()) return false;
        if (s1 == s2) return true;
        int n = s1.size();
        vector<vector<vector<bool> > > dp (n, vector<vector<bool> >(n, vector<bool>(n + 1, false)));
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
                for (int k = 1; k <= n - max(i, j); ++k) {
                    if (s1.substr(i, k) == s2.substr(j, k)) {
                        dp[i][j][k] = true;
                    } else {
                        for (int t = 1; t < k; ++t) {
                            if ((dp[i][j][t] && dp[i + t][j + t][k - t]) || (dp[i][j + k - t][t] && dp[i + t][j][k - t])) {
                                dp[i][j][k] = true;
                                break;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[0][0][n];
    }
};

笔记：第一感觉是用递归求解，但能用DP就不用迭代，因为DP更高效。题目关键是确定状态转移方程时，需要考虑多种分割方法，其中有一种可行即可，4层循环DP时，很明显需要将len放在第一层。第三种解法对DP进行了优化。