线性代数：标准正交矩阵Q

正文

回顾之前学习过矩阵的空间视角，也就是把空间的一组基的向量按列排列构成矩阵的列向量，这个空间也就等价于矩阵的列空间，这样的矩阵乘以一个点坐标代表着把矩阵的列空间内的一个点的位置转化为在标准的欧几里得空间中进行展示:

因此，对于一个$n$维空间的一组标准正交基${\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2,{\vec{p}}_3,\cdots ,{\vec{p}}_n$，也可按列进行排列$\left(\begin{array}{c}|||\cdots |\\ {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2,{\vec{p}}_3,\cdots ,{\vec{p}}_n\\ |||\cdots |\end{array}\right)$

构造成矩阵，这种由空间标准基向量按列排列构成的一个$n$阶方阵称为标准正交矩阵$Q$。

$标准正交矩阵Q的重要性质:$
标准正交矩阵的转置乘以它自身将得到单位矩阵$I\to$ $Q^T\cdot Q=I$
证明:

$Q=\left(\begin{array}{c}|||\cdots |\\ {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2,{\vec{p}}_3,\cdots ,{\vec{p}}_n\\ |||\cdots |\end{array}\right)$
 \,
$Q^T=\left(\begin{array}{c}{\vec{p}}_1\\ {\vec{p}}_2\\ \cdots \\ {\vec{p}}_n\end{array}\right)$

$\therefore Q^T\cdot Q=\left(\begin{array}{c}{\vec{p}}_1\\ {\vec{p}}_2\\ \cdots \\ {\vec{p}}_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2,\cdots ,{\vec{p}}_n\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}{\vec{p}}_1\cdot {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_1\cdot {\vec{p}}_2,\cdots {\vec{p}}_1\cdot {\vec{p}}_n\\ {\vec{p}}_2\cdot {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2\cdot {\vec{p}}_2,\cdots {\vec{p}}_2\cdot {\vec{p}}_n\\ \cdots \\ {\vec{p}}_n\cdot {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_n\cdot {\vec{p}}_2,\cdots {\vec{p}}_n\cdot {\vec{p}}_n\end{array}\right]$
 \,
$\because$ 标准正交矩阵内的向量${\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2,{\vec{p}}_3,\cdots ,{\vec{p}}_n$两两之间互相垂直，就有任取两向量点乘结果为零${\vec{p}}_i\cdot {\vec{p}}_j=0$

$\therefore Q^T\cdot Q=\left[\begin{array}{c}{\vec{p}}_1\cdot {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_1\cdot {\vec{p}}_2,\cdots {\vec{p}}_1\cdot {\vec{p}}_n\\ {\vec{p}}_2\cdot {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2\cdot {\vec{p}}_2,\cdots {\vec{p}}_2\cdot {\vec{p}}_n\\ \cdots \\ {\vec{p}}_n\cdot {\vec{p}}_1,{\vec{p}}_n\cdot {\vec{p}}_2,\cdots {\vec{p}}_n\cdot {\vec{p}}_n\end{array}\right]=I$

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联系矩阵的逆

$当存在矩阵B与矩阵A相乘满足条件A\times B=B\times A=I,则称B是矩阵A的逆，记作：B=A^{-1},也即A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$

因此对于$Q^T\cdot Q=I$，就满足$Q^T$是矩阵$Q$的左逆，同时也是$Q$的右逆，所以$Q^T$就是矩阵$Q$的逆
$\therefore Q^{-1}=Q^T$

• 在PCA算法中，将一个高维空间降成低维空间，反过来要将低维空间再转成高维空间的时候就要利用$Q^{-1}=Q^T$这条性质，因为PCA降维后描述低维空间的方式就是标准正交矩阵，通过低维空间的标准正交矩阵把高维空间映射到低维空间，如果要把低维空间映射回高维空间就需要用到低维空间的标准正交矩阵的逆，所以直接取低维空间的标准正交矩阵的转置就方便很多了。