Catalan数（一）

最新推荐文章于 2021-02-22 21:32:13 发布

舟遥

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分类专栏：算法文章标签： Catalan数 acm

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（一）Catalan数的介绍

这篇文章还有这篇文章讲的都不错，这里就不详谈了，只说一点，对于程序里面计算Catalan数有用的。

Catalan数的通项公式是：

事实上，在算(2n)!的时候，需要计算n!和(n+1)!，所以可以考虑在计算2n的阶乘的时候，保留必要的中间结果。

另一方面，上述公式可以化简如下：

这样，就没必要再计算(2n)的阶乘，只需要重(n+2)开始乘就可以了。下面的算法大都基于这个思想来做。

（二）出栈问题

HDJ OJ 1023 Train Problem II （问题描述见链接）。

这是个典型的出栈问题。既给定 n 个不同的数，按严格递增方式进栈，问有多少种出栈的方式。

设n个不同元素的出栈个数为： $f(n)$

分析：设出栈的序列编号为从1到n，则考虑第n+1个进栈的元素在出栈序列中的位置，设为i，如下图：

（CSND不能识别Visio画的图？？？）

该元素左边是比该元素早出栈的，右边是比它晚出栈的。

左边出栈方式的个数为： $f(i-1)$ ，右边出栈方式为： $f(n-i)$

则总的出栈方式数： $f(n+1)=\sum_{i=1}^{n+1}f(i-1)f(n+1-i)$

变换一下格式就发现者是Catalan数。

下面是我的AC的代码：

//hdj 1023 stack Catalan number
//78MS	292K	1871 B
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <iomanip>
#define MAXN 80

using namespace std;


// 计算a*k，a是采用10000进制存储的大整数 
void multiply(int a[], int k)
{
     int *b; //b used to store a
     int m = a[0], i, j, r, carry;
     
     b = (int*)malloc(sizeof(int)*(m+1));
     for( i = 1; i<=m ; i++) b[i] = a[i];
     for( j = 1; j < k ; j++ )
     {
          for(carry = 0, i = 1; i <=m ; i++ )
          {
                    r = (i <= a[0]?a[i]+b[i]:a[i] )+carry;
                    a[i] = r%10000;
                    carry = r/10000;
          }
          if(carry)
          {
                  a[++m] = carry;         
          }   
     }
     free(b);
     a[0] = m;      
}
//计算Catalan数的分母，(n+2)*(n+3)*...*(2n)
void denominator(int a[],int n)
{
    int i = 2; 
    a[0] = a[1] = 1;   
    for( i = n+2; i <= 2*n ; i++)
    {
         multiply(a, i);     
    }  
}

void print(int a[])
{
     int index = a[0];
     while( index > 0)
     {
            if(index==a[0]) cout<<a[index];//忽略掉最高位前面的0 
            else cout<<setw(4)<<setfill('0')<<a[index];//设置位宽位4，不足的末尾补0 
            index--;
     }    
     cout<<endl;     
}


void div_frac(int a[], int n)
{
    
    int i,j, tmp = 0;
    for( j = 2 ; j <= n ; j++)
    {
         int am = a[0];
        for(i = am ; i >= 1 ; i--)
        {
              a[i] = a[i] + tmp*10000;
              tmp = a[i] % j;
              a[i] = a[i] / j ;
        }
        while( a[am] == 0 )
        {
               am--;
               a[0] = am;
        }
    }         
}

void CatalanNumber(int up[], int n)
{
        denominator(up, n);
        div_frac(up, n);    
}

int main()
{
    int n;
    int up[MAXN];   
    while(cin>>n)
    {
        memset(up, MAXN, 0);
        CatalanNumber(up, n);
        print(up);             
    }   
    return 0;  
}

（二）二叉树问题

与上题相似的是编号 1130 的问题，计算有多少棵不同的二叉搜索树。使用上述代码，可以直接AC。这里不分析了。

还有一道编号 1131 的问题，计算有多少棵树。这题首先要对 N 个不同的元素进行全排列，然后针对每一排列，其构造的树的数目恰好是Catalan数，所以总共可以构造的树的数目是n的阶乘乘以Catalan数。

（三）买票问题

题目 1133 Buy The Ticket

分析如下：

n+m个人排队买票，并且满足n \ge m，票价为50元，其中n个人各手持一张50元钞票，m个人各手持一张100元钞票，除此之外大家身上没有任何其他的钱币，并且初始时候售票窗口没有钱，问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。

这个题目是Catalan数的变形，不考虑人与人的差异，如果m=n的话那么就是我们初始的Catalan数问题，也就是将手持50元的人看成是+1，手持100元的人看成是-1，任前k个数值的和都非负的序列数。

这个题目区别就在于n>m的情况，此时我们仍然可以用原先的证明方法考虑，假设我们要的情况数是D_{n+m}，无法让每个人都买到的情况数是U_{n + m}，那么就有D_{n + m} + U_{n +m} = {n + m \choose n}，此时我们求U_{n + m}，我们假设最早买不到票的人编号是k，他手持的是100元并且售票处没有钱，那么将前k个人的钱从50元变成100元，从100元变成50元，这时候就有n+1个人手持50元，m-1个手持100元的，所以就得到U_{n + m} = {n + m \choose n + 1}，于是我们的结果就因此得到了，表达式是D_{n + m} = {n + m \choose n} - {n + m \choose n + 1}。

参考：http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html

事实上，这种分析方法来源于Knuth的《计算机程序设计艺术（第一卷）》的习题，2.2.1小节的习题4的答案。该书中称之为“反射原理”。（苏运霖译，第三版，508页）

为了在程序计算方便，对公式做一下变换：

$f(m+n)=m!n!({m+n \choose n}-{m+n \choose m+1})=(m+n)!\frac{m+1-n}{m+1}$

AC代码：

//hdj 1133 buy the ticket
//93MS	288K	2074 B
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <iomanip>
//注意，程序中最大的数据是200！，375位，故而需要定义为100 
#define MAXN 100

using namespace std;

// 计算a*k，a是采用10000进制存储的大整数 
void multiply(int a[], int k)
{
     int *b; //b used to store a
     int m = a[0], i, j, r, carry;
     
     b = (int*)malloc(sizeof(int)*(m+1));
     for( i = 1; i<=m ; i++) b[i] = a[i];
     for( j = 1; j < k ; j++ )
     {
          for(carry = 0, i = 1; i <=m ; i++ )
          {
                    r = (i <= a[0]?a[i]+b[i]:a[i] )+carry;
                    a[i] = r%10000;
                    carry = r/10000;
          }
          if(carry)
          {
                  a[++m] = carry;         
          }   
     }
     free(b);
     a[0] = m;      
}

void print(int a[])
{
     int index = a[0];
     while( index > 0)
     {
            if(index==a[0]) cout<<a[index];//忽略掉最高位前面的0 
            else cout<<setw(4)<<setfill('0')<<a[index];//设置位宽位4，不足的末尾补0 
            index--;
     }    
     cout<<endl;     
}
// a[]/n
void div(int a[], int n)
{
        int am = a[0];
        int tmp = 0;
        for(int i = am ; i >= 1 ; i--)
        {
              a[i] = a[i] + tmp*10000;
              tmp = a[i] % n;
              a[i] = a[i] / n ;
        }
        while( a[am] == 0 )
        {
               am--;
               a[0] = am;
        }     
     
}

//求a*n! 
void arrange(int a[], int n)
{
     if( n <= 1 ) return;
     for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
     {
        multiply(a, i);   
     }     
     
}
int main()
{
    int m, n;
    int up[MAXN];
    int i = 1;   
    while(cin>>m>>n && (m || n))
    {
        cout<<"Test #"<<i<<":"<<endl;
        memset(up, MAXN, 0);
        if(m < n)
        {
             cout<<0<<endl;
        }
        else 
        {       
             up[0] = up[1] = 1;   
             arrange(up, m+n);
             multiply(up, m+1-n);
             div(up, m+1);
             print(up);
        }
        i++;             
    }   
    return 0;  
}

类似题目有：HDJ1267