2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题 “板凳龙” 闹元宵——第三问详细步骤思路

第三问要求确定最小螺距，使得龙头前把手能够沿着相应的螺线盘入到直径为9米的调头空间边界。这一问题的关键是找到最小螺距，使得龙头在盘入的过程中正好到达调头空间边界，而不发生碰撞或偏离轨迹。

问题分析：

调头空间是一个直径为9米的圆形区域，半径为4.5米。我们需要找到龙头前把手盘入螺旋线时的最小螺距，使得它的轨迹能够刚好盘入到该调头空间的边界，即龙头的半径正好等于4.5米。

1. 确定螺旋线方程

和之前一样，舞龙队的运动轨迹沿螺旋线进行。螺旋线的参数方程为：

$$r(\theta )=r_0+\frac{p}{2\pi }\theta$$

其中：

• ( r(\theta) ) 是当前时刻的半径；
• ( r_0 ) 是初始半径（即从螺旋线的起始点开始的初始半径）；
• ( p ) 是螺距（待优化）；
• ( \theta ) 是极角。

龙头沿螺旋线盘入时，半径 ( r(\theta) ) 会逐渐减小。

2. 确定调头空间的半径

调头空间是一个半径为4.5米的圆形区域。问题要求找到最小螺距，使得龙头能够到达这个边界，即：

$$r_{\text{min}}=4.5\text{m}$$

3. 龙头的运动轨迹

我们需要确保龙头的轨迹能够达到调头空间的半径，也就是说，找到螺距 ( p )，使得当龙头前把手的位置满足：

$$r(\theta )=4.5\text{m}$$

假设龙头初始时位于半径为 ( r_0 ) 的位置开始盘入，并沿着螺旋线运动。

4. 确定螺旋线的总圈数和螺距

龙头的半径 ( r(\theta) ) 是随着角度 ( \theta ) 不断变化的。要确定最小螺距 ( p )，我们可以通过螺旋线的极角关系来推导。

根据螺旋线方程：

$$r(\theta )=r_0+\frac{p}{2\pi }\theta$$

当 ( r(\theta) = 4.5 , \text{m} ) 时，螺旋半径达到调头空间的边界。因此有：

$$4.5=r_0+\frac{p}{2\pi }{\theta }_{\text{turn}}$$

其中 ( r_0 ) 为初始半径，可以从题目的设定中得到。然后，计算 ( \theta_{\text{turn}} ) 对应的螺旋线圈数 ( N ) 和螺距 ( p )。

1. 初始半径 ( r_0 ) 是从螺旋线的外圈开始的半径；
2. ( \theta_{\text{turn}} ) 对应的是龙头前把手在盘入到调头空间的总角度变化。

5. 求解最小螺距

从上述公式中解出螺距 ( p )：

$$p=\frac{2\pi (4.5-r_0)}{{\theta }_{\text{turn}}}$$

其中，( \theta_{\text{turn}} ) 对应的角度取决于总的螺旋线圈数，即龙头前把手盘入到调头空间边界时所需要转过的总角度。

6. 调整螺距

通过上述公式，可以得到满足龙头前把手恰好达到调头空间边界时的最小螺距。你可以通过数值模拟或者优化算法来逐步调整螺距 ( p )，使得龙头在旋转一定的圈数后能够到达 ( r = 4.5 , \text{m} ) 的位置。

总结步骤：

1. 确定螺旋线方程：根据螺旋线的运动方程，定义龙头的运动轨迹。
2. 确定调头空间边界：设定调头空间的半径为4.5米，并计算龙头前把手到达调头空间边界所需要的总角度。
3. 求解螺距：通过螺旋线方程，计算最小螺距，使得龙头能够达到调头空间的边界。
4. 数值模拟：可以通过编程实现，逐步调整螺距，确保龙头前把手沿着螺旋线进入调头空间。

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