2018年全国多校算法寒假训练营练习比赛（第三场）---G---题(容斥原理）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/NSSWTT/article/details/79261568

本文介绍了一个利用容斥原理解决数学问题的方法，具体为计算1到n之间不是特定数（如251113）的倍数的整数数量。通过实例演示了如何使用C++编程实现这一计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给出一个数n，求1到n中，有多少个数不是2 5 11 13的倍数。

输入描述:

本题有多组输入
每行一个数n，1<=n<=10^18.

输出描述:

每行输出输出不是2 5 11 13的倍数的数共有多少。

示例1

输入

输出

说明

1 3 7 9

在解题之前我们来简单学一下容斥原理：

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

四个集合：A1∪A2∪A3∪A4|=|A1|+|A2|+|A3|+|A4|-|A1∪A2|-|A1∪A3|-|A1∪A4|-|A2∪A3|-|A2∪A4|-|A3∪A4|+|A1∪A2∪A3|+|A1∪A2∪A4|+|A1∪A3∪A4|+|A2∪A3∪A4|-|A1∪A2∪A3∪A4|

n个集合的容斥原理：|A1∪A2∪A3∪…∪An|=∑|Ai1|-∑|Ai1∪Ai2|+…+（-1)^(k+1)∑|Ai1∪Ai2∪…∪Aik|+…+（-1)^(n+1)∑|A1∪A2∪…∪An|其中1≤i1＜i2＜…i(k-1)＜ik≤n

我们来看一下代码的实现：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    long long n;  
    long long s=0,a,b,c,d,ab,ac,ad,bc,bd,cd,abc,acd,bcd,abd,abcd;  
    while(cin>>n)
    {
    //2,5,11,13的倍数  
    a=n/2;  
    b=n/5;  
    c=n/11;  
    d=n/13;  
    //两数的倍数  
    ab=n/10;  
    ac=n/22;  
    ad=n/26;  
    bc=n/55;  
    bd=n/65;  
    cd=n/143;  
    //三数的倍数  
    abc=n/110;  
    abd=n/130;  
    acd=n/286;  
    bcd=n/715;  
    //四数的倍数  
    abcd=n/1430;  
    s=a+b+c+d-ab-ac-ad-bc-bd-cd+abc+abd+acd+bcd-abcd;  
    printf("%lld\n",n-s); 
    }
return 0;	
}