2017-11-4离线赛总结（NOIP七连测第二场）

最新推荐文章于 2020-09-08 21:22:53 发布

NOI_yzk

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本文解析了NOIP竞赛中两道题目，第一题采用状压DP优化算法，详细介绍了如何通过预处理降低时间复杂度；第二题则利用树上差分与DFS栈计算路径交点，巧妙解决了LCA问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

估分：270
实际分数：280
这次的难度略小于NOIP ~~最后一道题作为水题竟然没有做出来~~
第二题又又又叒卡过去了~~hahahahhahahahahah~~
实际正解也是好敲的，谁知道其实内存开的是256MB
题解：
第二题：
一看到颜色的个数如此诡异，就可以想到是用状压
然后模拟颜色的排序，求逆序对（预处理）
直接状压dp的复杂度是 $n^2*2^n$
可以水到90分
然后如果要把复杂度优化成 $n*2^n$ ，就要开一个大小为 $2^n*n$ 的数组
把dp中的运算预处理出来
实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define ll long long
#define M 100005
#define S 25
template <class T> void chk_mi(T &x,T y){if(x>y||x==-1)x=y;}

int A[M],lg2[1<<21];
ll Sum[M][S],Tmp[S][S],Tta[20][1<<20];
ll dp[2][1<<21];
int n,k;
struct AC{
    void solve(){
        DOR(i,n,1){//一个数后面有几个 
            FOR(j,1,k)Sum[i][j]+=Sum[i+1][j];
            Sum[i][A[i+1]]++;
        }
        FOR(i,1,n)FOR(j,1,k)Tmp[A[i]][j]+=Sum[i][j];
        int tta=(1<<k)-1;
        FOR(i,1,k){
            FOR(j,0,tta){
                int l=j&-j;
                int x=lg2[l]+1;
                if(l==0)x=0;
                Tta[i-1][j]=Tta[i-1][j-l]+Tmp[i][x];
            }
        }
        int cur=0;
        FOR(i,1,tta)dp[0][i]=-1;
        FOR(i,1,k){
            cur^=1;
            FOR(j,0,tta)dp[cur][j]=-1;
            FOR(j,0,tta){
                if(dp[cur^1][j]==-1)continue;
                FOR(h,0,k-1){
                    if(j&(1<<h))continue;
                    chk_mi(dp[cur][j|(1<<h)],dp[cur^1][j]+Tta[h][j]);
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[cur][tta]);
    }
}p100;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<=k;i++)lg2[(1<<i)]=i;
    FOR(i,1,n)scanf("%d",&A[i]);
    p100.solve();
    return 0;
}

第三题：
在写完链之后就知道是差分了，~~但怕爆零，又去检查前面的了~~
好吧，其实是考试时看到一条链，就觉得是树链剖分，然后把答案叠加之类，
想想就麻烦，果断弃坑
其实根本不用树链剖分~~求lca算吗~~
直接在树上差分+dfs栈，就可以算出经过一点的路径个数
然后分析两条直径的关系，会发现一条路径的lca一定在另外一条路径上（如果相交的话）
然后如果一个点在存在多条路径的lca的话，就直接分类讨论好了
代码实现：

#include<cstdio>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define M 100005

int To[M<<1],head[M],nxt[M<<1],tta;
inline void addedge(int a,int b){nxt[++tta]=head[a];head[a]=tta;To[tta]=b;}
#define LFOR(i,x) for(int i=head[x];i;i=nxt[i])

int dep[M],fa[M],son[M],sz[M],Top[M];
void ldfs(int x,int f){
    son[x]=-1;fa[x]=f;
    dep[x]=dep[f]+1;sz[x]=1;
    LFOR(i,x){
        int y=To[i];
        if(y==f)continue;
        ldfs(y,x);
        sz[x]+=sz[y];
        if(!~son[x]||sz[son[x]]<sz[y])son[x]=y;
    }
}

void rdfs(int x,int tp){
    Top[x]=tp;
    if(!~son[x])return;
    rdfs(son[x],tp);
    LFOR(i,x){
        int y=To[i];
        if(y==fa[x]||y==son[x])continue;
        rdfs(y,y);
    }
}

int LCA(int x,int y){
    while(Top[x]!=Top[y]){
        if(dep[Top[x]]>dep[Top[y]])x=fa[Top[x]];
        else y=fa[Top[y]];
    }
    return dep[x]<dep[y]?x:y;
}

int Sum[M],Cnt[M],n,m;
long long ans=0;
void dfs(int x){
    LFOR(i,x){
        int y=To[i];
        if(y==fa[x])continue;
        dfs(y);
        Sum[x]+=Sum[y];
    }
    ans+=1ll*Cnt[x]*Sum[x]+1LL*(Cnt[x]-1)*Cnt[x]/2;
}

int main(){

    int x,y;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    FOR(i,1,n-1){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        addedge(x,y);addedge(y,x);
    }

    ldfs(1,0);
    rdfs(1,1);

    FOR(i,1,m){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int lca=LCA(x,y);
        Sum[x]++,Sum[y]++,Sum[lca]-=2,Cnt[lca]++;
    }

    dfs(1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0; 
}