停机问题的定义和证明

停机问题

停机问题（halting problem）是目前逻辑数学的焦点，和第三次数学危机的解决方案。其本质问题是: 给定一个图灵机 T，和一个任意语言集合 S, 是否 T 会最终停机于每一个。其意义相同于可确定语言。显然任意有限 S 是可判定性的，可数的(countable) S 也是可停机的，在使用 oracle 输入的帮助下。
通俗的说，停机问题就是判断任意一个程序是否会在有限的时间之内结束运行的问题。如果这个问题可以在有限的时间之内解决，可以有一个程序判断其本身是否会停机并做出相反的行为。这时候显然不管停机问题的结果是什么都不会符合要求。所以这是一个不可解的问题。
停机问题本质是一阶逻辑的不自恰性和不完备性。类似的命题有理发师悖论、全能悖论等。！

证明设停机问题有解，即：存在过程H(P, I)可以给出程序P在输入I的情况下是否可停机。假设若P在输入I时可停机，H输出“停机”，反之输出“死循环”，即可导出矛盾：
显然，程序本身可以被视作数据，因此它可以被作为输入，故H应该可以判定当将P作为P的输入时，P是否会停机。所以我们设过程K(P)的流程如下：首先，它调用H(P, P)，如果H(P, P)输出“死循环”，则K(P)停机，反之K(P)死循环。即K(P)做与H(P, P)的输出相反的动作。
现在假设求K(K)，则若H(K, K)输出停机，K(K)死循环，但由定义知二者矛盾。反之，H(K, K)输出死循环，则K(K)停机，两者一样矛盾。
因此，H不是总能给出正确答案，故而不存在解决停机问题的方法。