DP求钢管切法的最小代价（XJTU算法实验二）_输入的序列是最终切割成的每段钢条长度,求切割搬运的最小代价-优快云博客

该博客介绍了一个解决如何在给定的钢条上按指定位置切割以最小化总代价的算法。通过动态规划实现，利用了最优子结构，时间复杂度为O(n^2)。代码展示了如何用C++实现这一算法，并给出了一个示例输入和输出。

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设有一个长度为L的钢条，在钢条上标有n个位置点(p1,p2,…,pn)。现在需要按钢条上标注的位置将钢条切割为n+1段。假定每次切割所需要的代价与所切割的钢条长度成正比。请编写一个算法，能够确定一个切割方法，使切割的总代价最小。
输入：
7 4
5 4 3 1
结果：
16

思路

先定义一维数组p[ n+1 ]，其中p[i]是第i个切割点的位置（注意p应为有序的）。特别地，p[ 0 ]=0，p[ n+1 ]=L。

用a[ i ][ j ]记录从第i个切割点到第j个切割点的最小代价。其最优子结构的递归关系为：

j - i =1时，a[ i ][ j ] = 0；

j - i =2时，a[ i ][ j ] = p[ j ] - p[ i ]；

3 ≤ j - i 时，a[ i ][ j ] = min{ p[ j ] - p[ i ] +a[ i ][ k ] +a[ k ][ j ] }，i+1 ≤ k ≤ j-1。

最后a[ 0 ][ n+1 ]即为所求。时间复杂度为O(n^2)。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

void bubbleSort(int *p, int n)
{
	for(int i=1;i<n+1;i++){
		for(int j=1;j<n-i+1;j++){
			if(p[j+1]<p[j]){
				int temp = p[j];
				p[j] = p[j+1];
				p[j+1] = temp;
			}
		}
	}
}

int min(int a, int b)
{
		return a<b?a:b;;
}

int Solution(int begin, int end, int *p, int **a)
{ 
	if(end-begin==1)
		return 0;
	else if(end-begin==2)
		return p[end]-p[begin];
	else{
		int least=a[begin][begin+1]+a[begin+1][end]+p[end]-p[begin];
		for(int i=2;i<end-begin;i++){
			least = min(least, a[begin][begin+i]+a[begin+i][end]+p[end]-p[begin]);
		}
		return least;
	}
} 

int main()
{ 
	int L, n;
	cin>>L>>n;
	int *p;
	p = new int[n+2];
	p[0] = 0;
	for(int i=1;i<n+1;i++){
		cin>>p[i];
	}
	bubbleSort(p, n);
	p[n+1] = L;
	int **a = new int*[n+2];//创建二维数组记录最小代价值
	for(int i=0;i<n+2;i++){
		a[i] = new int[n+2];
	}
	for(int i=1;i<n+2;i++){
		for(int j=0;j<n+2-i;j++){
			a[j][i+j] = Solution(j,i+j,p,a);
		}
	}
	cout<<Solution(0,n+1,p,a);
	return 0;
}