求解线性递推关系

• 相关概念
  线性递推关系：
  一个常系数的k阶线性齐次递推关系是形如
  

  $$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}$$
  的递推关系，其中$c_1,c_2,...,c_k$是实数且$c_k \neq 0$。该定义中的递推关系是线性的，因为它的右边是序列前项的倍数。该递推关系是齐次的，因为所出现的各项都是$a_j$的倍数。该递推关系各项的系数都是常数而不是依赖于$n$的函数。该递推关系的阶为$k$，因为$a_n$由序列前面的$k$项来表示。
  特征方程：
  求解常系数线性齐次递推关系的基本方法是寻找形如$a_n=r^n$的解。
  $a_n=r^n$是递推关系$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}$的解当且仅当
  $$r^n=c_1r^{n-1}+c_2r^{n-2}+...+c_kr^{n-k}$$
  方程两边同除$r^{n-k}$并移项可得
  $$r^k-c_1r^{k-1}-c_2r^{k-2}-...-c_{k-1}r-c_k=0$$
  上式称为该递推关系的特征方程。方程的解称为特征根。

• 相关定理
  1.求解常系数线性齐次递推关系：
  【定理1】：设$c_1$和$c_2$是实数。假设$r^2-c_1r-c_2=0$有两个不相等的根$r_1$和$r_2$，那么序列$\{a_n\}$是递推关系$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}$的解，当且仅当$a_n=\alpha_1r_1^n+\alpha_2r_2^n,n=0,1,2,...,$其中$\alpha_1$和$\alpha_2$是常数。
  【定理2】：设$c_1$和$c_2$是实数，$c_2\neq0$。假设$r^2-c_1r-c_2=0$只有一个根$r_0$。序列$\{a_n\}$是递推关系$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}$的解，当且仅当$a_n=\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n,n=0,1,2,...$，其中$\alpha_1$和$\alpha_2$是常数。
  【定理3】：设$c_1,c_2,...,c_k$是实数。假设特征方程
  

  $$r^k-c_1r^{k-1}-...-c_k=0$$
  有$k$个不相等的根$r_1,r_2,...,r_k$。那么序列$\{a_n\}$是递推关系
  $$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}$$
  的解，当且仅当
  $$a_n=\alpha_1r_1^n+\alpha_2r_2^n+...+\alpha_kr_k^n$$
  $$n=0,1,2,....,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k$$ 是常数。
  【定理4(一般性结果)】：设$c_1,c_2,...,c_k$是实数，假设特征方程式
  $$r^k-c_1r^{k-1}-...-c_k=0$$
  有t个不相等的根$r_1,r_2,...,r_t$，其重数分别为$m_1,m_2,...,m_t$，满足$m_i\geq1,i=1,2,...t$,且$m_1+m_2+...+m_k=k$。那么序列$\{a_n\}$是递推关系
  $$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}$$
  的解，当且仅当
  $$a_n=(\alpha_{1,0}+\alpha_{1,1}+...+\alpha_{1,m_i-1}n^{m_i-1}+)r_1^n+ (\alpha_{2,0}+\alpha_{2,1}+...+\alpha_{2,m_i-1}n^{m_i-1}+)r_2^n +...+(\alpha_{t,0}+\alpha_{t,1}+...+\alpha_{t,m_t-1}n^{m_t-1}+)r_1^n$$
  $n=0,1,2,...,$其中$\alpha_{i,j}$是常数，$1\leq i\leq t$且$0\leq j\leq m_i-1$
  2.求解常系数线性非齐次递推关系
  【定理5】：如果$\{a_n^{(p)}\}$是常系数非齐次线性递推关系
  $$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}+F(n)$$
  的一个特解，那么每个解都是$\{a_n^{(p)}+a_n^{(h)}\}$的形式，其中$\{a_n^{(h)}\}$是相伴的齐次递推关系
  $$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}$$
  的一个解。
  可见，求解常系数非齐次递推关系的关键是找一个特解。然后每个解都是这个特解与相伴的齐次递推关系的一个解的和。
  当$F(n)$是$n$的多项式与一个常数的$n$次幂之积时，我们就能知道一个特解恰好是什么形式。
  【定理6】：假设$\{a_n\}$满足线性非齐次递推关系
  $$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}+F(n)$$
  其中$c_1,c_2,...,c_k$是实数，且
  $$F(n)=(b_tn^t+b_{t-1}n^{t-1}+...+b_1n+b_0)s^n$$
  其中$b_0,b_1,...,b_t$和$s$是实数。当$s$不是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的根时，存在一个下述形式的特解
  $$(p_tn^t+p_{t-1}n^{t-1}+..+p_1n+p_0)s^n$$
  当$s$是特征方程的根且它的重数是$m$时，存在一个下述形式的特解
  $$n^m(p_tn^t+p_{t-1}n^{t-1}+..+p_1n+p_0)s^n$$