算法导论26.1-4

26.1-4

  • 问题描述
    f为网络的一个流,设α为一个实数,则αf称为标量流积,该标量流积是一个从V×V到R的一个函数,其定义如下:
    (αf)(u,v)=αf(u,v)

    证明:网络中的流形成一个凸集。也就是说,证明:如果f1f2为两个流,则αf1+(1α)f2也是一个流,这里0α1
  • 问题分析
    需要由“如果f1f2为两个流”推出”αf1+(1α)f2也是一个流”。那么就要证明αf1+(1α)f2符合容量限制和流量守恒两条性质。
  • 问题求解
    I 对于所有的结点u,vV0f1(u,v)c(u,v),0f2(u,v)c(u,v)。则0αf1(u,v)+(1α)f2(u,v)αc(u,v)+(1α)c(u,v)=c(u,v)。即αf1+(1α)f2符合容量限制性质。
    II 对于所有的结点uV{s,t}
    vVαf1(v,u)+(1α)f2(v,u)αvVf1(v,u)+(1α)vVf2(v,u)αvVf1(u,v)+(1α)vVf2(u,v)vVαf1(u,v)+(1α)f2(u,v)

    αf1+(1α)f2符合流量守恒性质。
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