网络流的凸集特性-优快云博客

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                    26.1-4

问题描述 

设f为网络的一个流，设α为一个实数，则αf称为标量流积，该标量流积是一个从V×V到R的一个函数，其定义如下： 
(αf)(u,v)=α⋅f(u,v)

证明：网络中的流形成一个凸集。也就是说，证明：如果f1和f2为两个流，则αf1+(1−α)f2也是一个流，这里0≤α≤1。
问题分析 

需要由“如果f1和f2为两个流”推出”αf1+(1−α)f2也是一个流”。那么就要证明αf1+(1−α)f2符合容量限制和流量守恒两条性质。
问题求解 

I 对于所有的结点u,v∈V，0≤f1(u,v)≤c(u,v),0≤f2(u,v)≤c(u,v)。则0≤αf1(u,v)+(1−α)f2(u,v)≤αc(u,v)+(1−α)c(u,v)=c(u,v)。即αf1+(1−α)f2符合容量限制性质。 

II 对于所有的结点u∈V−{s,t}
∑v∈Vαf1(v,u)+(1−α)f2(v,u)≤α∑v∈Vf1(v,u)+(1−α)∑v∈Vf2(v,u)≤α∑v∈Vf1(u,v)+(1−α)∑v∈Vf2(u,v)≤∑v∈Vαf1(u,v)+(1−α)f2(u,v)

即αf1+(1−α)f2符合流量守恒性质。

算法导论26.1-4

26.1-4