26.1-4
- 问题描述
设f为网络的一个流,设α 为一个实数,则αf称为标量流积,该标量流积是一个从V×V到R的一个函数,其定义如下:
(αf)(u,v)=α⋅f(u,v)
证明:网络中的流形成一个凸集。也就是说,证明:如果f1和f2为两个流,则αf1+(1−α)f2也是一个流,这里0≤α≤1。 - 问题分析
需要由“如果f1和f2为两个流”推出”αf1+(1−α)f2也是一个流”。那么就要证明αf1+(1−α)f2符合容量限制和流量守恒两条性质。 - 问题求解
I 对于所有的结点u,v∈V,0≤f1(u,v)≤c(u,v),0≤f2(u,v)≤c(u,v)。则0≤αf1(u,v)+(1−α)f2(u,v)≤αc(u,v)+(1−α)c(u,v)=c(u,v)。即αf1+(1−α)f2符合容量限制性质。
II 对于所有的结点u∈V−{s,t}
∑v∈Vαf1(v,u)+(1−α)f2(v,u)≤α∑v∈Vf1(v,u)+(1−α)∑v∈Vf2(v,u)≤α∑v∈Vf1(u,v)+(1−α)∑v∈Vf2(u,v)≤∑v∈Vαf1(u,v)+(1−α)f2(u,v)
即αf1+(1−α)f2符合流量守恒性质。