leetcode236.二叉树的最近公共祖先：递归后序遍历的祖先追踪之道

原创于 2025-05-27 15:14:13 发布 · 1k 阅读

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#算法 #leetcode #java #数据结构

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一、题目深度解析与核心定义

题目描述

在二叉树中找到两个节点p和q的最近公共祖先（LCA）。最近公共祖先是指两个节点的所有祖先中距离它们最近的那个节点。二叉树的节点可以包含任意值，且不一定是搜索树，因此无法利用值的大小关系，只能通过树的结构遍历求解。

核心性质

递归定义：对于当前节点root，若root是p或q，或者p和q分别在root的左右子树中，则root是LCA。
后序遍历特性：从底向上查找，先处理子树再处理当前节点，便于判断子树中是否存在目标节点。

示例说明

输入二叉树：

p=5，q=4
输出：5
LCA是5，因为5是包含p和q的最底层祖先。

二、递归解法的核心实现与逻辑框架

完整递归代码实现

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        // 终止条件：当前节点为空，或当前节点是p或q
        if (root == null || root == p || root == q) {
            return root;
        }
        // 递归查找左子树和右子树
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        
        // 根据左右子树的返回结果判断当前节点是否为LCA
        if (left == null && right == null) { // 左右子树都没找到，返回null
            return null;
        } else if (left != null && right == null) { // 只有左子树找到，返回左子树结果
            return left;
        } else if (left == null && right != null) { // 只有右子树找到，返回右子树结果
            return right;
        } else { // 左右子树都找到，说明当前节点是LCA
            return root;
        }
    }
}

核心变量与递归逻辑

终止条件：
- root == null：空节点，无祖先
- root == p || root == q：当前节点是其中一个目标节点，向上返回作为候选祖先
递归过程：
- 先递归左子树和右子树，获取左右子树中是否存在目标节点或祖先
- 根据左右返回结果，判断当前节点是否为LCA

三、核心问题解析：递归逻辑与祖先判定

1. 递归终止条件的设计

if (root == null || root == p || root == q) {
    return root;
}

空节点处理：递归到底层节点，返回null作为无效祖先
目标节点匹配：当找到p或q时，向上传递该节点，作为祖先查找的起点

2. 后序遍历的祖先判定逻辑

四种返回情况分析：

左右都为空（left == null && right == null）：
- 左右子树都不存在p或q，当前子树无祖先，返回null
左存在右不存在（left != null && right == null）：
- 左子树中存在p或q（或其祖先），右子树无，返回左子树结果
右存在左不存在（left == null && right != null）：
- 右子树中存在p或q（或其祖先），左子树无，返回右子树结果
左右都存在（left != null && right != null）：
- p和q分别在左右子树中，当前节点是最近公共祖先，返回root

逻辑本质：

后序遍历保证从叶子节点开始向上判断，当左右子树都能找到目标节点时，当前节点必然是它们的最近公共祖先

四、算法复杂度分析

1. 时间复杂度

O(n)：每个节点最多访问一次，n为树的节点数
递归过程中每个节点执行常数级判断，总时间线性于节点数

2. 空间复杂度

O(h)：h为树的高度（递归栈深度）
- 平衡树：h=logn，空间复杂度O(logn)
- 最坏情况（链表树）：h=n，空间复杂度O(n)

五、核心技术点总结：递归解法的三大关键

1. 后序遍历的逆向追踪

自底向上：从叶子节点开始判断，逐步向上汇聚结果
路径压缩：无需记录路径，通过递归返回值直接确定祖先

2. 终止条件的双重作用

空节点过滤：避免无效递归路径
目标节点捕获：及时返回目标节点，作为祖先查找的起点

3. 结果合并逻辑

左右子树结果分析：
- 仅左存在：祖先在左子树
- 仅右存在：祖先在右子树
- 左右都存在：当前节点是LCA

六、常见误区与边界处理

1. 错误理解公共祖先定义

误区：认为祖先必须同时是p和q的父节点
正确逻辑：祖先可以是p或q本身（当其中一个节点是另一个的祖先时）

2. 忽略空树处理

边界条件：当root为空时返回null，代码中已通过终止条件处理

3. 优化建议：记忆化搜索

场景：多次查询LCA时可缓存结果
实现：使用哈希表存储节点的父节点，逐层向上查找
对比：递归解法更简洁，适合单次查询

七、总结：递归法求解LCA的本质是后序汇聚

本算法通过递归后序遍历，利用树的层次结构特性，从底向上追踪目标节点，最终在最近公共祖先处汇聚左右子树的结果。核心在于：

递归终止条件：准确捕获目标节点和空节点，作为递归的起点和边界
后序处理逻辑：先处理子树再处理当前节点，便于判断祖先关系
结果合并策略：根据左右子树的返回值，高效判定当前节点是否为LCA

这种递归解法简洁且高效，充分利用了树的递归结构特性，无需额外数据结构，是求解二叉树LCA问题的经典方法。理解其核心逻辑后，可轻松扩展到二叉搜索树等变种问题，体现了递归在树结构问题中的强大表现力。