【NOIP复习】【数学】

======================================================================

一些NOIP可能会用到的关于数学的东西= =

目录：

1.欧几里德与扩展

2.秦九昭算法

3.欧拉函数

4.卡特兰数

5.二分快速幂

6.杨辉三角/组合数计算

7.差分约束

PS：以上为个人整理/搬运，若有错误请指出

PS*2:容斥原理和中国剩余定理感觉没什么好写的就没写了= =

=======================================================================

No.1 欧几里德与扩展

//欧几里德/辗转相除：求最大公约数
void _gcd(int x,int y)
{
	if(y==0)return x;
	return _gcd(y,x%y);
}
//求最小公倍数 x*y/gcd(x,y)

//扩展欧几里德 求不定方程ax+by=c 
//若ax+by=1 称a为x模y的逆元，b为y模x的逆元 
void _exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int r,temp;
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	r=_exgcd(b,a%b,x,y);
	temp=x;
	x=y;
	y=temp-a/b*y;
	return r;
}
//对于不定方程ax+by=d 的通解有：x=x'+(b/d)*k y=y'-(a/d)*k k为整数 

=======================================================================

No.2  秦九昭算法

//秦九昭算法 求一个多项式f(x)= a0+a1*x+a2*x^2+....+an*x^n
int Horner(int a[],int n,int x)
{
	int v1=a[n];
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		int v2=v1*x+a[i];
		v1=v2;
	}
	return v1;
}

=======================================================================

No.3  欧拉函数

//欧拉函数:对于正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目
//例如：Euler(8)=4 因为8与1,3,5,7互质
//欧拉函数的其他性质
//1.一个数n的所有质因子之和为Euler(n)*n/2
//2.对于奇数n 有Euler(n)=Euler(2n)
//3.Euler(1)=1

//直接求解欧拉函数 
int _Euler(int n)
{
	int cnt=n,temp=n;
	for(int i=2;i*i<=temp;i++)
	{
	  if(temp%i==0)
	  {
	    cnt=cnt/i*(i-1);
	    while(temp%i==0)temp/=i;
      }
      
	}
	if(temp>1)cnt=cnt/temp*(temp-1);
	return cnt;
}

//筛选法打表
#define maxn _____
int Euler[maxn];
void _Makelist()
{
	Euler[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++)Euler[i]=i;
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(Euler[i]==i)
		 for(int j=i;j<maxn;j+=i)
		 Euler[j]=Euler[j]/i*(i-1);
	}
}

=======================================================================

No.4  卡特兰数

//卡特兰数
//满足递归式：H(n)=H(1)*H(n-1)+H(2)*H(n-1)+....+H(n-1)*H(1) (n>=2) 
//也可表示为：H(n)=C(n,2n)-C(n-1,2n)
//通项公式：H(n)=H(n-1)*H(4n-2)/(n+1)
int H[];
int Catalan(int x)
{
	if(x<=1)return 1;
        H[0]=H[1]=1;
    
	for(int i=2;i<=x;i++)
	{
        H[i]=0;
        for(int j=0;j<i;j++)
        H[i]+=(H[j]*H[i-j]);
    }
    return H[x];
}

=======================================================================

No.5  二分快速幂

//二分快速幂：用于求a^b%c
int _qmod(int a,int b,int c)
{
	int ans=1;
	a=a%c;
	while(b)
	{
		if(a&1)ans=(ans*a)%c;
		b=b>>1;
		a=(a*a)%c;
	}
	return ans;
}

ps:关于矩乘的快速幂，感觉都差不多就不再单独放代码了

=======================================================================

No.6  杨辉三角

//杨辉三角/组合数
//C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
//C(m,n)=C(m,m-n) 

//计算组合数
int _find_C(int x,int y)
{
	int ans=1;
	if(y>x-y)y=x-y;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	ans=ans*(x-y+i)/i;//貌似一定整除 
	return ans;
}
//打表 O(n^2)
int C[][];
void _Makelist(int n)
{
	C[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		C[i][1]=1;
		for(int j=2;j<=i;j++)
		C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
	}
}

=======================================================================

No.7  差分约束系统

差分约束系统/图与数的转化：
  
1.求最大值==求最短路
  1).对于一个不等式Xi-Xj<=K,可以对应一条由Xj到Xi的权值为K的边
  2).添加源点X0，就从X0出发向每一个点连一条权值为0的边
  3).若设Dis[X0]=A,则所有的Dis[]一定对应的是<=A的最大解

2.求最小值==求最长路
  1).对于一个不等式Xi-Xj>=K,可以对应一条由Xj到Xi的权值为K的边
  2).添加源点X0，就从X0出发向每一个点连一条权值为0的边
  3).若设Dis[X0]=A,则所有的Dis[]一定对应的是>=A的最小解

PS：如果有Xi=Xj,存图是，在i,j之间建一条权值为0的双向边

=======================================================================