机器学习第5天：多项式回归与学习曲线

原创已于 2023-12-08 12:06:37 修改 · 573 阅读

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#机器学习 #回归 #人工智能

于 2023-11-15 16:04:02 首次发布

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多项式回归介绍

当数据不是线性时我们该如何处理呢，考虑如下数据

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


np.random.seed(42)

x = 8 * np.random.rand(100, 1) - 4
y = 2*x**2+3*x+np.random.randn(100, 1)

plt.scatter(x, y)
plt.show()

方法与代码

方法描述

先讲思路，以这个二元函数为例

$y=3*x^{2}+2*x+c$

将多项式化为多个单项的，也就是将x的平方和x两个项分离开，然后单独给线性模型处理，求出参数，最后再组合在一起，很好理解，让我们来看一下代码

分离多项式

我们使用机器学习库的PolynomialFeatures来分离多项式

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures


poly_features = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
x_poly = poly_features.fit_transform(x)
print(x[0])
print(x_poly[0])

运行结果

可以看到，4， 5行代码将原始x和x平方挑选了出来，这时我们再把这个数据进行线性回归

model = LinearRegression()
model.fit(x_poly, y)
print(model.coef_)

这段代码使用处理后的x拟合y，再打印模型拟合的参数，可以看到模型的两个参数分别是2.9和2左右，而我们的方程的一次参数和二次参数分别是3和2，可见效果还是很好的

把预测的结果绘制出来

model = LinearRegression()
model.fit(x_poly, y)
pre_y = model.predict(x_poly)

# 这里是为了让x升序的排序算法， 可以尝试不加这段代码图会变成什么样
sorted_indices = sorted(range(len(x)), key=lambda k: x[k])
x_sorted = [x[i] for i in sorted_indices]
y_sorted = [pre_y[i] for i in sorted_indices]

plt.plot(x_sorted, y_sorted, "r-")
plt.scatter(x, y)
plt.show()

学习曲线的作用

场景

设想一下，当你需要预测房价，你也有多组数据，包括离学校距离，交通状况等，但是问题来了，你只知道这些特征可能与房价有关，但并不知道这些特征与房价之间的方程关系，这时我们进行回归任务时，就可能导致欠拟合或者过拟合，幸运的是，我们可以通过学习曲线来判断

学习曲线介绍

学习曲线图就是以损失函数为纵坐标，数据集大小为横坐标，然后在图上画出训练集和验证集两条曲线的图，训练集就是我们用来训练模型的数据，验证集就是我们用来验证模型性能的数据集，我们往往将数据集分成训练集与验证集

我们先定义一个学习曲线绘制函数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression


def plot_learning_curves(model, x, y):
    x_train, x_val, y_train, y_val = train_test_split(x, y, test_size=0.2)
    train_errors, val_errors = [], []
    for m in range(1, len(x_train)):
        model.fit(x_train[:m], y_train[:m])
        y_train_predict = model.predict(x_train[:m])
        y_val_predict = model.predict(x_val)
        train_errors.append(mean_squared_error(y_train[:m], y_train_predict))
        val_errors.append(mean_squared_error(y_val, y_val_predict))
    plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r-+", linewidth=2, label="train")
    plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="val")
    plt.legend()
    plt.show()

简单介绍一下，这个函数接收模型参数，x，y参数，然后在for循环中，取不同数据集大小来计算RMSE损失（就是 $\sqrt{MSE}$ ），然后把曲线绘制出来

欠拟合曲线

我们知道欠拟合就是模拟效果不好的情况，可以想象的到，无论在训练集还是验证集上，他的损失都会比较高

示例

我们将线性模型的学习曲线绘制出来

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression


def plot_learning_curves(model, x, y):
    x_train, x_val, y_train, y_val = train_test_split(x, y, test_size=0.2)
    train_errors, val_errors = [], []
    for m in range(1, len(x_train)):
        model.fit(x_train[:m], y_train[:m])
        y_train_predict = model.predict(x_train[:m])
        y_val_predict = model.predict(x_val)
        train_errors.append(mean_squared_error(y_train[:m], y_train_predict))
        val_errors.append(mean_squared_error(y_val, y_val_predict))
    plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r-+", linewidth=2, label="train")
    plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="val")
    plt.legend()
    plt.show()


x = np.random.rand(100, 1)
y = 2 * x + np.random.rand(100, 1)

model = LinearRegression()
plot_learning_curves(model, x, y)

结论

可以看到，在只有一点数据时，模型在训练集上效果很好（因为就是开始这一些数据训练出来的），而在验证集上效果不好，但随着训练集增加（模型学习到的越多），验证集上的误差逐渐减小，训练集上的误差增加（因为是学到了一个趋势，不会完全和训练集一样了）

这个图的特征是两条曲线非常接近，且误差都较大（差不多在0.3），这是欠拟合的表现（模型效果不好）

过拟合曲线

过拟合就是完全以数据集来模拟曲线，泛化能力很差

示例

我们来试试将一次函数模拟成三次函数，再来看看学习曲线（毫无疑问过拟合了）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline


def plot_learning_curves(model, x, y):
    x_train, x_val, y_train, y_val = train_test_split(x, y, test_size=0.2)
    train_errors, val_errors = [], []
    for m in range(1, len(x_train)):
        model.fit(x_train[:m], y_train[:m])
        y_train_predict = model.predict(x_train[:m])
        y_val_predict = model.predict(x_val)
        train_errors.append(mean_squared_error(y_train[:m], y_train_predict))
        val_errors.append(mean_squared_error(y_val, y_val_predict))
    plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r-+", linewidth=2, label="train")
    plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="val")
    plt.legend()
    plt.show()


np.random.seed(10)
x = np.random.rand(200, 1)
y = 2 * x + np.random.rand(200, 1)

poly_regression = Pipeline([
    ("Poly", PolynomialFeatures(degree=3, include_bias=False)),
    ("Line", LinearRegression())
])

plot_learning_curves(poly_regression, x, y)