离散优化总结
离散优化是一种常见的高效数据结构，它通过建立数据与存储结构（数组）之间（不一定）一一对应的映射关系来达到对复杂数据的优化。
离散优化最重要的一点是建立映射，对于特殊的线段、点而言，这些映射可以是对一个区间的映射，即将某段线或者某块区域映射到数组里面去，从而在计算时降低时间复杂度。
Hash优化：是对于字符串和数字的一种优化方式。它通过将数据映射到数组内的某个元素从而达到节省空间的效果。
根据hash算法的不同，可能会引起数据的碰撞，即hash(key1)==hash(key2)，会使得数据存储出现错误。有两个方法可以解决：
-
拉链法，将hash所对密码指向链表头，每次查找元素遍历整串链表，直到找到该元素为止（编程复杂度较高）
-
开地址法，当hash所对密码冲突时，将数据存入另外的位置（可以是下一个空位置，也可以是计算出的任意位置），当然如果使用线性开地址法，只要有一个数据碰撞，那么其余所有数据都很有可能进行至少一次碰撞，非常耗费时间。所以我们运用hash算出另一个位置并存储：
while(hashtable[ad]!=0){
ad+=ad%3+1;//可以是异于主hash算法的另一hash算法
}
通常Hash算法分为两个板块：
-
查找元素，hash(key)对应的不一定是目标元素，需要对目标进行搜索，推荐使用开地址法进行搜索
-
插入元素，与查找同理，在插入之前必须检查此元素是否已被插入，再用开地址法存入相应的地址
Hash可用的构造方法
-
直接定址
-
取模法
-
平均取中值
-
随机数
-
数字分析法，将最有代表特色的位置作为特征码
-
折叠法，将数拆分成几部分并求和
-
基数法，将低进制数当作高进制数转化为原进制的数，并进行分析，取特征码（两个进制之间应该是互质的关系）
1640: 线段覆盖
时间限制:1 Sec 内存限制: 128 MB
提交:43 解决: 27
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题目描述
X轴上方有若干条平行于X轴的线段，求这些线段能覆盖到的X轴的总长度？
输入
第一行一个数n(n<=1000)，表示线段的个数；
接下来n行，每行两个整数ai,bi
（-10^8<=ai,bi<=10^8)，代表一个线段的两个端点。
输出
输出覆盖x轴的长度。
样例输入
2
10 12
2 4
样例输出
4
将每个点存入数组进行排序，然后遍历所有线段，将线段所覆盖到的点全部记录，输出结果
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[1200],b[1200],t[2400],flag[2400],tot,sum;
//flag[i]表示i到i+1之间是否被覆盖
int find(int s,int e,int aim){
int mid;
while(s<=e){
mid=(s+e)>>1;
if(t[mid]==aim){
while(t[mid-1]==t[mid]) mid--;
return mid;
}else if(t[mid]>aim)
e=mid-1;
else s=mid+1;
}
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
if(a[i]>b[i]) swap(a[i],b[i]);
t[++tot]=a[i]; t[++tot]=b[i];
}
sort(t+1,t+1+tot);
for(int i=tot;i>=2;i--)
if(t[i]==t[i-1]) flag[i]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int top=find(1,tot,a[i]),tail=find(1,tot,b[i]);
for(int j=top;j<=tail-1;j++)
if(flag[j]!=-1) flag[j]=1;
}
for(int i=1;i<=tot-1;i++){
int nxt=i+1;
while(flag[nxt]==-1) nxt++;
if(flag[i]==1) sum+=t[nxt]-t[i];
}
printf("%d",sum);
return 0;
}
1234: 图形面积
时间限制:0 Sec 内存限制: 128 MB
提交:11 解决: 2
[提交][状态][讨论版]
题目描述
桌面上放了N个矩形，这N个矩形可能有互相覆盖的部分，求它们组成的图形的面积。
输入
输入第一行为一个数N（1≤N≤100），表示矩形的数量。下面N行，每行四个整数，分别表示每个矩形的左下角和右上角的坐标，坐标范围为–10^8到10^8之间的整数。
输出
输出只有一行，一个整数，表示图形的面积。
样例输入
3
1 1 4 3
2 -1 3 2
4 0 5 2
样例输出
10
二维离散优化，将图形在x轴上投影的点找出，并且分析相邻两点间的距离（即图形的宽），以及投影这段线的图形在y轴上的投影（即图形的高），ans+=d*h即可
http://noi.openjudge.cn/ch0305/1551/
Sumsets
描述
给出一个整数集合s，找到集合中最大的d，让等式a+b+c=d成立，
其中，a,b,c,d是集合S中不同的元素。
输入
Several S, each consisting of a line containing an integer 1 <= n<= 1000 indicating the number of elements in S, followed by the elements ofS, one per line. Each element of S is a distinct integer between -536870912 and+536870911 inclusive. The last line of input contains 0.
输出
For each S, a single line containing d, or a single line containing"no solution".
样例输入
5
2
3
5
7
12
5
2
16
64
256
1024
0
样例输出
12
no solution
经过变形可得a+b=d-c，先枚举a+b用hash表存储
再枚举d-c，如果在hash表中有值,且该值对应的a，b异于d，c，那么将此时的d存起来，取最大值
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int ADD=536870911;
int flag[1000020],in[1020],ha1[1000020],ha2[1000020],data[1000000];
int hashh(int key){
// key+=ADD;
int ad=((key%1000000)+10061894)%1000000;
while(flag[ad]!=0){
ad+=ad%11+1;
if(ad>1000000) ad%=1000000;
}
return ad;
}
int find(int key){
// key+=ADD;
int ad=((key%1000000)+10061894)%1000000;
while(data[ad]!=key&&flag[ad]!=0){
ad+=ad%11+1;
if(ad>1000000) ad%=1000000;
}
return flag[ad]==0?-1:ad;
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
int n,maxx;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0){
memset(flag,0,sizeof(flag));
maxx=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&in[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++){
int ans=hashh(in[i]+in[j]);
flag[ans]=1,ha1[ans]=in[i],ha2[ans]=in[j],data[ans]=in[i]+in[j];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++){
int ans=find(in[i]-in[j]);
if(i==j||ans==-1) continue;
if(flag[ans]&&ha1[ans]!=in[i]&&ha1[ans]!=in[j]&&ha2[ans]!=in[i]&&ha2[ans]!=in[j])
maxx=max(maxx,in[i]);
}
if(maxx!=-1) printf("%d\n",maxx);
else printf("no solution\n");
}
return 0;
}1807:正方形
http://noi.openjudge.cn/ch0305/1807/
描述
给出平面上一些点的坐标，统计由这些点可以组成多少个正方形。注意：正方形的边不一定平行于坐标轴。
输入
输入包括多组测试数据。每组的第一行是一个整数n (1 <= n <= 1000)，表示平面上点的数目，接下来n行，每行包括两个整数，分别给出一个点在平面上的x坐标和y坐标。输入保证：平面上点的位置是两两不同的，而且坐标的绝对值都不大于20000。最后一组输入数据中n = 0，这组数据表示输入的结束，不用进行处理。
输出
对每组输入数据，输出一行，表示这些点能够组成的正方形的数目。
样例输入
4
1 0
0 1
1 1
0 0
9
0 0
1 0
2 0
0 2
1 2
2 2
0 1
1 1
2 1
4
-2 5
3 7
0 0
5 2
0
样例输出
1
6
1
将每个点用hash表存起来，这里有个小技巧，可以开longlong数组，从而实现一个变量存一个点的功效。然后枚举任意两个未枚举的点，将它们作为正方形的一条边，通过规律我们可以确定两个待定的正方形，寻找计算出的正方形另两个点的位置，搜索hash表，如果都有相应的元素对应，那么即为找到一个正方形。注意：每两个点都会被遍历，即每条边都会被遍历，所以正方形的个数是边数d>>2
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX=30000;
struct node{
int x,y;
}poi[MAX+500];
long long hashtable[MAX+500];
//任意选取两个点，可确定两个正方形，将两个正方形除已选择外的点hash存储
void InsertHash(int x,int y){
int ad=(x*x+y*y)%30000;
long long aim=x*100000+y;
while(1){
ad+=ad%31+1;
if(ad>MAX) ad%=MAX;
if(hashtable[ad]==aim) return;
if(hashtable[ad]==0) break;
}hashtable[ad]=aim;
}
int FindHash(int x,int y){
int ad=(x*x+y*y)%30000;
long long aim=x*100000+y;
while(1){
ad+=ad%31+1;
if(ad>MAX) ad%=MAX;
if(hashtable[ad]==0) return 0;
else if(hashtable[ad]==aim) return 1;
}
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
int n,x,y,ans;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0){
memset(hashtable,0,sizeof(hashtable));
ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&poi[i].x,&poi[i].y);
poi[i].x+=20001; poi[i].y+=20001;
InsertHash(poi[i].x,poi[i].y);
}
/* for(int i=1;i<=MAX;i++)
if(hashtable[i]!=0)
printf("%lld\n",hashtable[i]);*/
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++){
int x1,x2,y1,y2,delx,dely;
delx=poi[i].x-poi[j].x;
dely=poi[i].y-poi[j].y;
x1=poi[i].x+dely; y1=poi[i].y-delx;
x2=poi[j].x+dely; y2=poi[j].y-delx;
if(FindHash(x1,y1)&&FindHash(x2,y2)) ans++;
x1=poi[i].x-dely; y1=poi[i].y+delx;
x2=poi[j].x-dely; y2=poi[j].y+delx;
if(FindHash(x1,y1)&&FindHash(x2,y2)) ans++;
}
printf("%d\n",ans>>2);//根据两个点找正方形会找四次
}
return 0;
}
FZOJ1639魔板
题目描述
在魔方风靡全球之后，小Y发明了它的简化版——魔板，如图1所示，魔板由8个同样大小的方块组成，每个方块的颜色均不相同，本题中分别用数字1~8表示，它们可能出现在魔板的任一位置。任一时刻魔板的状态可以用方块的颜色序列表示：从魔板的左上角开始，按顺时针方向依次写下各个颜色块的颜色代号，得到数字序列即可表示此时魔板的状态。例如，序列(1,2,3,4,5,6,7,8)表示如图1所示魔板的状态，这也是本题中魔板的初始状态。
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 8 | 7 | 6 | 5 |
图 1 魔板的初始状态
对于魔板，可以施加三种不同的操作，分别以A,B,C标识。具体操作方法如下：
A:上下行互换。
B：每一行同时循环右移一格。
C：中间4个方块顺时针旋转一格。
应用这三种基本操作，可以由任一种状态达到任意另外一种状态。
图 2 魔板的操作方法
图2描述了上述3种操作的具体含义，图中方格外面的数字标识魔板的8个方块位置，方格内数字表示此次操作前该小方块所在位置，即：如果位置P对应的方格中数字为I，则表示此次操作前该方块在位置I。
任务一：请编一程序，对于输入的一个目标状态寻找一种操作的序列，使得从初始状态开始，经过此操作序列后使该魔板变为目标状态。
任务二：如果你的程序寻找到的操作序列在300步以内，会得到任务二的分数。
输入数据只有一行，内容是8个以一个空隔分隔的正整数，表示目标状态。输入样例对应的状态如图3所示。输出数据要求第一行输出你的程序寻找到的操作序列的步数L，随后L行是相应的操作序列，每行的行首输出一个字符，代表相应的操作。
| 2 | 6 | 8 | 4 |
| 1 | 3 | 7 | 5 |
图 3 魔板的输入样例的状态
输入
输出
第一行输出你的程序寻找到的操作序列的步数L，随后L行是相应的操作序列，每行的行首输出一个字符，代表相应的操作。
样例输入
2 6 8 4 5 7 3 1
样例输出
7
B
C
A
B
C
C
B
如果魔板数据太小，可用直接地址法，但本题魔板有10^8种可能，不现实。又考虑到在300步内可得到目标魔板，于是想到使用hash表存储已经遍历过的走法。
从初始状态开始，进行BFS，取出一个元素，每次考虑三种可能的变化情况，搜索hash表，如果还未考虑此情况，就加入队列，继续搜索，同时记录每种走法的上一步father[]
直到程序找到了目标解，那么依次遍历father[]，输出结果即可
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