动态规划-硬币问题

最新推荐文章于 2025-06-04 15:22:46 发布

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分类专栏：数据结构和算法文章标签：数据结构与算法动态规划入门硬币问题

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本文介绍了动态规划的基本思想，强调了其避免重复计算的优势，并通过硬币问题为例，详细阐述了如何找到问题的状态并构建状态转移方程。以3个不同价值的硬币（1, 3, 5）求解得到特定价值（value）所需的最少硬币数为例，展示了状态转移方程d(n) = min{d[n-value[i]]+1}的应用。" 125550873,11514494,GitBook 入门教程,"['GitBook', 'GitHub', 'Markdown', '文档管理']

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动态规划的本质是将原问题分解为同性质的若干个相同子结构，以局部最优值求得最优值。它和普通递归求解好处在于可以避免大量的重复计算。求解动规需要找到问题本质的状态，利用已知状态，推出状态转移方程。有了状态转移方程，什么都好说了。
以3个硬币的价值分别为1,3,5，然后要得到值为value的最少硬币数ans为例，下面表示的意思是d(value) = ans:
d(0) = 0//方案只有1种
d(1) = 1//方案只有1种
d(2) = d(2-1)+1 = 2//依次类推，方案只有1种
d(3) = min{d(3-1)+1, d(3-3)+1} = 1 //方案有2种，需要取最少值
d(4) = min{d(4-1)+1, d(4-3)+1} = 1 //取最小值
d(5) = min{d(5-1)+1, d(5-3)+1, d(5-5)+1} = 1 //取最小值
d(6) = min{d(6-1)+1, d(6-2)+1, d(6-5)+1} = 2 //取最小值
….
以此类推
….
d(n) = min{d(n-value[0])+1, d(n-value[1])+1, d(n-value[2])+1}
从中可以得到状态转移方程为:d(n) = min{d[n-value[i]]+1}。
代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
#include <cstdio>
#define MAXN 1010
int Min(int x, int y)
{
    return x<y?x:y;
}
int main()
{
    int N, M;
    int value[MAXN] = {0};
    int ans[MAXN] = {0};
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        scanf("%d", &value[i]);
    }
    scanf("%d", &M);
    for(int i = 0; i <= M; i++)  
    {
        int min = 9999;
        for(int j = 0; j < N; j++)  //主要用于求解在value值一定的情况下不同的组合方式的硬币最小数
        {

            if(i == 0)
            {
                ans[i] = 0;
            }
            else if(i >= value[j])
            {
                min = Min(ans[i-value[j]]+1, min);
            }

        }
        if(i != 0)
            ans[i] = min;
    }
    for(int i = 0; i <= M; i++)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    return 0;
}