差分数组-生存人数

刷leetcode碰到生存人数一题，有使用差分数组进行求解的，看到很多题解都是直接贴代码，没有差分数组原理的讲解，看的云里雾里的，遂查了一下差分数组的原理和使用场景，茅塞顿开！！

题目：生存人数

代码：

public int maxAliveYear(int[] birth, int[] death) {
    int[] dp = new int[102];
    for (int i = 0; i < birth.length; ++i) {
        dp[birth[i] - 1900] += 1;
        // 这里要注意，当年死的人还算在当年的人数，所以是下一年少一人
        dp[death[i] - 1900 + 1] -= 1;
    }
    int start = 0;
    int max = 0;
    int maxYear = 0;
    for (int i = 0; i < 102; ++i) {
        start += dp[i];
        if (start > max) {
            max = start;
            maxYear = i;
        }
    }
    return maxYear + 1900;
}

使用场景

如果给你一个包含5000万个元素的数组，然后会有频繁区间修改操作，比如让第1个数到第1000万个数每个数都加上1，而且这种操作是频繁的。此时应该怎么做？很容易想到的是，从第1个数开始遍历，一直遍历到第1000万个数，然后每个数都加上1，这种方法虽然可行，一旦区间操作频繁系统的压力就很大，因此产生了更优解：差分数组！！

差分数组原理

比如我们现在有一个数组arr，arr={0,2,5,4,9,7,10,0}

那么差分数组是什么呢？其实差分数组本质上也是一个数组，我们暂且定义差分数组为d，差分数组d的大小和原来arr数组大小一样，而且d[i]=arr[i]-arr[i-1]，且d[i]=0，它的含义是什么？就是原来数组i位置上的元素和i-1位置上的元素作差，得到的值就是d[i]的值。所以，例子中的arr数组其对应的差分数组值如下图所示。

那么构造了这么个玩意有什么用呢？难道是来浪费宝贵的内存空间的？嗯，确实是来浪费宝贵的内存了，但是却换了时间上的高效。

现在我们有这么一个区间修改操作，即在区间1~4上，所有的数值都加上3。我们不要傻傻地遍历arr数组的[1，4]范围，然后再分别给每个值加上3，我们此时更改差分数组d即可。

显而易见，差分数组d在[2，4]范围内的值都不用改变，只需要改变差分数组位置1和位置5的值即可，即d[1]=d[1]+3，而d[5]=d[5]-3，其余不变，为什么呢？因为差分数组的定义——d[i]=arr[i]-arr[i-1]

现在，我们如何根据差分数组d来推测arr中某一个位置的值呢？

比如，此时，我们想知道arr[1]的值，我们不能直接通过arr[1]得到原来的值，因为在区间修改的操作中我们并没有修改arr的值，因此我们必须从前往后遍历递推，由于d[0]=arr[0]-0(我们定义arr[0]的前一个数为0)，那么arr[0]=d[0]=0，又由于d[1]=arr[1]-arr[0]=5，那么arr[1]=5+arr[0]=5。以此类推，由于d[2]=arr[2]-arr[1]=3，所以arr[2]=3+arr[1]=8。

总结

可以看到，如果需要对L~ R范围内所有数都进行相同的操作，我们不需要从L~R遍历arr然后在每个值上进行相同操作，只需要在差分数组d中改变L和R+1的值即可。但是在查询arr数组中某个位置的数时，却要根据差分数组从前往后递推求值。
所以，该方法适用于区间频繁修改，而且这个区间范围是比较大的，离线查询的情况。