动态规划＜二＞路径问题-优快云博客

路径问题

路径问题

1.第一题

LeetCode<62> 不同路径

画图分析

动态规划解题的几步

1.确定状态表示

根据经验+题目要求

dp[i][j]表示走到[i,j]位置时的不同路径数

2.状态转移方程

以当前[i,j]位置状态的最近一步来划分子问题，将每个子问题用状态表示，即表示为dp[x][y]

3.初始化

4.填表顺序

从上往下填写每一行，每一行从左往右

5.返回值 dp[m][n](最右下位置)

具体代码

int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        //1.创建dp表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回值

        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1));
        dp[0][1]=1;
        for(int i=1;i<=m;++i)//从上往下遍历每一行
          for(int j=1;j<=n;++j)//从左往右填写每一列
          dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        return dp[m][n];
    }

2.第二题

OJ传送门：LeetCode<63> 不同路径II

画图分析:

使用动态规划来解决

1.确定状态表示

和上题一样dp[i][j]表示走到[i,j]位置时的不同路径数

2.状态转移方程

3.初始化与上题一样

4.调表顺序从上往下填写每一行，每一行从左往右

5.返回值 dp[m][n]

具体代码：

int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& ob) 
    {
        int m=ob.size(),n=ob[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
        dp[1][0]=1;
        for(int i=1;i<=m;++i)
         for(int j=1;j<=n;++j)
         if(ob[i-1][j-1]==0)//注意下标的映射关系
         dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        return dp[m][n];
    }

3.第三题

OJ传送门 LeetCode<LCR 166>珠宝的最高价值

画图分析

使用动态规划解决问题：

1.确定状态表示：根据经验+题目要求

dp[i][j]表示到达[i,j]位置时的最高价值

2.状态转移方程

3.初始化

4.填表顺序从上往下填写每一行，每一行从左往右进行填写

5.返回值 dp[m][n]

具体代码

int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) 
    {
        int m=frame.size(),n=frame[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
        for(int i=1;i<=m;++i)
         for(int j=1;j<=n;++j)
          //注意dp多加了一行和一列，原数组访问需要注意下标的映射关系
          dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+frame[i-1][j-1];
        return dp[m][n];
    }

4.第四题

OJ传送门 LeetCode<931>下降路径最小和

画图分析

使用动态规划解决问题

1.确定状态表示根据经验+题目要求

dp[i][j]表示到达[i,j]位置时的最小路径和

2.状态转移方程

3.初始化

4.填表顺序从上到下

5.返回值

因为题目要求是到最后一行都是结束位置，只需返回最后一行的最小值就行

具体代码：

int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) 
    {
        int n=matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));
        //对第一行初始化为0
        for(int i=0;i<n+2;++i)
         dp[0][i]=0;
        
        for(int i=1;i<=n;++i)
         for(int j=1;j<=n;++j)
          dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))
                  +matrix[i-1][j-1];//注意下标的映射关系
        
        int ret=INT_MAX;
        for(int i=1;i<=n;++i)
         ret=min(ret,dp[n][i]);
        return ret;
    }

5.第五题

OJ传送门 LeetCode<64> 最小路径和

画图分析：

使用动态规划解决问题

1.确定状态表示根据经验+题目要求

dp[i][j]表示到[i,j]时的最小路径和

2.状态转移方程以最近的一步划分子问题

3.初始化

4.填表顺序从上往下，从左往右

5.返回值 dp[m][n]

具体代码

int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) 
    {
        int m=grid.size(),n=grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[1][0]=dp[0][1]=0;
        for(int i=1;i<=m;++i)
         for(int j=1;j<=n;++j)
          dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
        return dp[m][n];
    }

6.第六题

OJ传送门 LeetCode<174>地下城游戏

画图分析：

使用动态规划解决问题

1.确定状态表示根据经验+题目要求

若dp[i][j]表示:从起点出发走到[i,j]位置时所需的最小健康点数

可以看出上面的状态表示无法推导出状态转移方程，我们可以换一种状态表示的方式

dp[i][j]表示从[i,j]位置出发，到达终点时，所需的最小健康数

2.状态转移方程

3.初始化

4.填写顺序

从下往上填写每一行，从右往左

5.返回值 dp[0][0]

具体代码：

int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& d) 
    {
        int m=d.size(),n=d[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1;
        for(int i=m-1;i>=0;--i)
         for(int j=n-1;j>=0;--j)
        {
            dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-d[i][j];
            dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
        }
        return dp[0][0];
    }