BZOJ 2152 聪聪可可

本文介绍了一道题目“聪聪可可”,通过树的点分治算法来解决游戏中聪聪和可可获胜概率的问题。具体地,文章详细解释了树的点分治算法的基本思想,并给出了具体的代码实现。

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title: ‘BZOJ 2152 聪聪可可’
categories: BZOJ
date: 2016-1-7 21:50:00
tags: [树的重心,树的点分治]


Description

聪聪和可可是兄弟俩,他们俩经常为了一些琐事打起来,例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑(可是他们家只有一台电脑)……遇到这种问题,一般情况下石头剪刀布就好了,可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。他们的爸爸快被他们的争吵烦死了,所以他发明了一个新游戏:由爸爸在纸上画n个“点”,并用n-1条“边”把这n个“点”恰好连通(其实这就是一棵树)。并且每条“边”上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点(当然他们选点时是看不到这棵树的),如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是3的倍数,则判聪聪赢,否则可可赢。聪聪非常爱思考问题,在每次游戏后都会仔细研究这棵树,希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。

Input

输入的第1行包含1个正整数n。后面n-1行,每行3个整数x、y、w,表示x号点和y号点之间有一条边,上面的数是w。

Output

以即约分数形式输出这个概率(即“a/b”的形式,其中a和b必须互质。如果概率为1,输出“1/1”)。

Sample

input.txt
5
1 2 1
1 3 2
1 4 1
2 5 3

output.txt
13/25

Hint

13组点对分别是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。
对于100%的数据,n<=20000。

Solution

刷了好久数据结构题,搞下算法转换心情?
树的点分治一般是用于处理一类树上的路径问题。主要思路是找到当前子树的重心,以它为根节点,分别统计各子树的路径信息,这样统计出的是跨根节点的路径信息;然后去掉根节点,分成若干个子树,然后在子树中再进行递归的操作,这样统计出的是单独存在于子树中的路径。由于我们每次都会选择当前子树的重心作为根节点,而重心的定义又是删除后最大子树的节点数不会超过n/2个,因此这样的递归只会进行logn次,而统计路径信息一般是O(n)的,因此树的点分治复杂度就是O(nlogn)。
对于这一题,我们主要在路径信息统计上下功夫。对于当前树,我们对根节点的每棵子树依次操作,首先计算出每个点到根节点的距离然后按模3的剩余系分类。在当前子树中得到的长度模3余0的路径数可以直接计入答案,还可以根据乘法原理和之前子树的所有余0的路径数相乘算贡献;同理,余1的路径与之前余2的路径相乘算贡献,余2的路径余之前余1的路径算贡献。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define maxn 40000+5

using namespace std;

struct Edge{
    int u,v,c;
    int nxt;    
}e[maxn];

int head[maxn],vis[maxn],size[maxn],f[maxn],res[maxn][3];
int n,ind,root,anc,ans,sum;

int gcd(int a,int b){
    if(a%b==0) return b;
    return gcd(b,a%b);
}

void getroot(int t,int p){
    size[t]=1; f[t]=0;
    for(int i=head[t];i!=-1;i=e[i].nxt)
        if(e[i].v!=p && !vis[e[i].v]){
            getroot(e[i].v,t);
            size[t]+=size[e[i].v];
            f[t]=max(f[t],size[e[i].v]);
        }
    f[t]=max(f[t],sum-size[t]);
    if(f[t]<f[root]) root=t;
}

void dfs(int t,int p,int val){
    res[anc][val]++;
    for(int i=head[t];i!=-1;i=e[i].nxt)
        if(e[i].v!=p && !vis[e[i].v])
            dfs(e[i].v,t,(val+e[i].c)%3);
}

void work(int t){
    vis[t]=1;
    for(int i=head[t];i!=-1;i=e[i].nxt)
        if(!vis[e[i].v]){
            int pre[3]; anc=t;
            pre[0]=res[t][0]; pre[1]=res[t][1]; pre[2]=res[t][2];
            dfs(e[i].v,t,e[i].c%3);
            ans+=(res[t][0]-pre[0])*(pre[0]+1)+(res[t][1]-pre[1])*pre[2]+(res[t][2]-pre[2])*pre[1];
            root=0; sum=size[e[i].v]; getroot(e[i].v,-1);
            work(root);
        }
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d",&n); f[0]=n+1; sum=n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x,y,c;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
        e[ind]=(Edge){x,y,c,head[x]},head[x]=ind++;
        e[ind]=(Edge){y,x,c,head[y]},head[y]=ind++;
    }
    getroot(1,-1);
    work(root);
    ans=ans*2+n;
    int GCD=gcd(ans,n*n);
    printf("%d/%d",ans/GCD,n*n/GCD);
    return 0;   
}
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