并查集优化（UVA11354 Bond）

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本文深入探讨并查集的两种优化方法：按秩合并与路径压缩。通过代码实例，详细解析了并查集如何通过这两种优化提升效率，尤其是在解决UVA11354Bond问题中的应用。

代码和思路参考：并查集2个优化——按秩合并和路径压缩
，并查集讲解（按秩合并与路径压缩），模板与典型例题，并查集（按秩合并）和《算法竞赛进阶指南》

并查集优化

一、路径压缩

当我们只关心每个集合的根是什么，而不关心它的具体形态时，就可以将每一个节点都指向根节点
get均摊复杂度： $O (l o g N)$

1.递归

（短小精悍好写但是可能会栈溢出）

int get(int x)
{
	return fa[x] == x ? x : fa[x] = get(fa[x]);
}

2.非递归

int get(int x)
{
	if(fa[x] == x) return x;
	int r = x;
	while(fa[r] != r)
	{
		r = fa[r];
	}
	//找到根节点
	int k = x, f;
	while(k != r)
	{
		f = fa[k];
		fa[k] = r;
		k = f;
	}
	//把经过的节点都指向根
	return r;
}
/*
int get(int x)//循环实现的find和路径压缩 
{
	while(x != fa[x]) x = fa[x] = fa[fa[x]];//表示这句话很强... 
    return x;
}
*/

二、按秩合并

秩一般有两种定义：

集合的大小
未进行路径压缩时（即原本给出的树）树的深度

按秩合并，就是把集合的“秩”记录在根节点上，在合并时将“秩”较小的节点作为“秩”较大的节点的子节点

当“秩”定义为集合大小时，“按秩合并”也称为“启发式合并”，是数据结构中一种重要思想，不止局限于并查集
启发式合并原则：把“小的结构”合并到“大的结构中”，并只增加“小的结构”的查询代价

rank[x]记录x这棵树的树高（就是到树根最长的链的长度）
树高最高为 log₂(N)
如果令fa[x] = y，那么y的树高最小为rank[x] + 1
所以rank[y] = max(rank[y], rank[x] + 1)

get均摊复杂度： $O (l o g N)$ （因为树高范围）

1.思路如上，直观代码

void merge(int x, int y)
{
	x = get(x), y = get(y);
	if(x == y) return;
	if(rank[x] <= rank[y])
	{
		fa[x] = y;
		rank[y] = max(rank[x] + 1, rank[y]);
	}
	else
	{
		fa[y] = x;
		rank[x] = max(rank[x], rank[y] + 1);
	}
}

2.更简洁常用，其实和上面的一样

void merge(int x, int y)
{
	x = get(x), y = get(y);
	if(x == y) return;
	if(rank[x] < rank[y])
		fa[x] = y;
	else
	{
		fa[y] = x;
		if(rank[x] == rank[y]) rank[x]++;
	}
}

例题：UVA11354 Bond

题目大意：有一张n个点m条边的无向图，每条边有一个危险度，有q个询问，每次给出两个点s、t，找一条路径，使得路径上的最大危险度最小

思路：Kruskal + 按秩合并

题目并不保证为一棵树，但保证s到t存在路径，容易想到先建最小生成树，在这棵树上的路径的最大危险度一定是最小的
但是直接遍历的话每一次复杂度为 $O (N)$ ，n和q又大，过不了
于是想到在Kruskal的并查集上加优化
但常用的路径压缩又不行，那样会破坏树的结构，这时按秩合并就派上用场了

代码&解读

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N = 50005, M = 100005;
int fa[N], rank[N], pre[N], vis[N];

struct Edge
{
	int u, v, w;
	bool operator <(const Edge &x) const
	{
		return w < x.w;
	}
}e[M];

int n, m;

int max(int a, int b)
{
	return a > b ? a : b;
}

int get(int x)
{
	return fa[x] == x ? x : get(fa[x]);
}

void merge(int x, int y, int z)
{
	x = get(x), y = get(y);
	if(x == y) return;
	if(rank[x] < rank[y])
	{
		fa[x] = y;
		pre[x] = z;
	}
	else
	{
		fa[y] = x;
		pre[y] = z;
		if(rank[x] == rank[y]) rank[x]++;
	}
}

int query(int x, int y)
{
	int ans = 0, k;
	k = x;
	//从x走到根
	while(1)
	{
		vis[k] = ans;
		if(fa[k] == k) break;
		ans = max(ans, pre[k]);
		k = fa[k];
	}
	ans = 0;
	k = y;
	//从y走到根
	while(1)
	{
		if(vis[k] >= 0)
		{
			ans = max(ans, vis[k]);
			break;
		}
		if(fa[k] == k) break;
		ans = max(ans, pre[k]);
		k = fa[k];
	}
	k = x;
	//x到根
	while(1)
	{
		vis[k] = -1;
		if(fa[k] == k) break;
		k = fa[k];
	}
	return ans;
}

void init()
{
	std::sort(e, e+m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		fa[i] = i;
		rank[i] = 0;
		vis[i] = -1;//vis初值要<0 
	}
	for(int i = 0; i < m; ++i)
	{
		merge(e[i].u, e[i].v, e[i].w);
	}
}

int main(){
	int t = 0;
	while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2)
	{
		if(t) printf("\n");
		else t++;
		for(int i = 0; i < m; ++i)
		{
			scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w);
		}
		init();
		int q, s, t;
		scanf("%d", &q);
		for(int i = 0; i < q; ++i)
		{
			scanf("%d%d", &s, &t);
			printf("%d\n", query(s, t));
		}
	}
	return 0;
}

变量：

pre[x]表示最小生成树上由x的父节点走向x的那条边的边权
vis[x]记录在某一次询问中树上从s到x的路径的最大危险度，同时可以判断x有没有被走过

merge()

读入边的数据后先按危险度从小到大排序，这样保证先插入的路径是更优的
也就是说如果现在x和y在同一集合中，那么连接x和y所在集合的边就不必加入

query()

注意前两个while()只有第一个有vis值的改变

x到y，可分为三种情况

lca(x, y) = y
这种情况只需x向上走，就能遇到y
那么第二个while()中，有vis[y] >= 0，则ans = vis[y]后立即退出
lca(x, y) = x
这种情况y向上遇到x，发现vis[x] = 0，ans不变，直接退出
lca(x, y) != x && lca(x, y) != y（也就是x，y不在一条链上）
在第二个while()中，走到lca(x, y)，有vis[lca(x, y)] >= 0，于是ans = max(vis[lca(x, y)]（x到lca(x, y)的最大危险度）, ans（y到lca(x, y)的最大危险度）)