错排问题

引自 百度-错排问题

错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题,错排数也是一项重要的数。令 { a k a_k ak} ( 1 ⩽ k ⩽ n ) (1 \leqslant k \leqslant n) (1kn) 是 { n n n}, n ∈ N n \in N nN 的一个错排,如果每个元素都不在其对应下标的位置上,即 a k ≠ k a_k \not= k ak=k,那么这种排列称为错位排列,或错排、重排(Derangement)。


我们从分析1 2 3 4的错排开始:

1 2 3 4的错排有:
4 3 2 1,4 1 2 3,4 3 1 2,
3 4 1 2,3 4 2 1,2 4 1 3,
2 1 4 3,3 1 4 2,2 3 4 1。

第一列是4分别与123互换位置,其余两个元素错排。
1 2 3 4->4 3 2 1,
1 2 3 4->3 4 1 2,
1 2 3 4-> 2 1 4 3

第2列是4分别与312(123的一个错排)的每一个数互换
3 1 2 4->4 1 2 3,
3 1 2 4->3 4 2 1,
3 1 2 4->3 1 4 2

第三列则是由另一个错排231和4换位而得到
2 3 1 4->4 3 1 2,
2 3 1 4->2 4 1 3,
2 3 1 4->2 3 4 1

上面的分析结果,实际上是给出一种产生错排的结果。


递推关系

为求其递推关系,分两步走:
第一步,考虑第n个元素,把它放在某一个位置,比如位置k,一共有n-1种放法;
第二步,考虑第k个元素,这时有两种情况:
(1)把它放到位置n,那么对于除n以外的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,所以剩下n-2个元素的错排即可,有 D n − 2 D_{n-2} Dn2 种放法;
(2)第k个元素不放到位置n,这时对于这n-1个元素的错排,有 D n − 1 D_{n-1} Dn1 种放法。
根据乘法和加法法则,综上得到
D n = ( n − 1 ) ( D n − 1 + D n − 2 ) D_n = (n - 1)(D_{n-1} + D_{n-2}) Dn=(n1)(Dn1+Dn2)
特殊地,存在 D 0 = 1 D_0 = 1 D0=1, D 1 = 0 D_1 = 0 D1=0
此外,存在

D n − D n − 1 = − [ D n − 1 − ( n − 1 ) D n − 2 ] = ( − 1 ) 2 [ D n − 2 − ( n − 2 ) D n − 3 ] = . . . = ( − 1 ) n − 2 ( D 2 − D 1 ) = ( − 1 ) n \begin{aligned} D_n - D_{n-1} &= -[D_{n-1} - (n - 1)D_{n-2}]\\ &= (-1) ^2 [D_{n-2} - (n - 2)D_{n-3}]\\ &= ... \\&= (-1) ^ {n - 2} (D_2 - D_1)\\&= (-1) ^ n \end{aligned} DnDn1=[Dn1(n1)Dn2]=(1)2[Dn2(n2)Dn3]=...=(1)n2(D2D1)=(1)n
因此, D n = n D n − 1 + ( − 1 ) n D_n = nD_{n - 1} + (-1) ^ n Dn=nDn1+(1)n


Codeup 22648: 淘气的钥匙(key)

啊打KaTeX真的好累,我已经尽力了QAQ

内容概要:本文详细介绍了900W或1Kw,20V-90V 10A双管正激可调电源充电机的研发过程和技术细节。首先阐述了项目背景,强调了充电机在电动汽车和可再生能源领域的重要地位。接着深入探讨了硬件设计方面,包括PCB设计、磁性器件的选择及其对高功率因数的影响。随后介绍了软件实现,特别是程序代码中关键的保护功能如过流保护的具体实现方法。此外,文中还提到了充电机所具备的各种保护机制,如短路保护、欠压保护、电池反接保护、过流保护和过温度保护,确保设备的安全性和可靠性。通讯功能方面,支持RS232隔离通讯,采用自定义协议实现远程监控和控制。最后讨论了散热设计的重要性,以及为满足量产需求所做的准备工作,包括提供详细的PCB图、程序代码、BOM清单、磁性器件和散热片规格书等源文件。 适合人群:从事电力电子产品研发的技术人员,尤其是关注电动汽车充电解决方案的专业人士。 使用场景及目标:适用于需要高效、可靠充电解决方案的企业和个人开发者,旨在帮助他们快速理解和应用双管正激充电机的设计理念和技术要点,从而加速产品开发进程。 其他说明:本文不仅涵盖了理论知识,还包括具体的工程实践案例,对于想要深入了解充电机内部构造和工作原理的人来说是非常有价值的参考资料。
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