浙大2020年Mooc数据结构笔记--第八讲 图（下）

浙大2020年Mooc数据结构笔记–第八讲 图（下）

〇、前言

• 这几天开始跟着学数据结构，鉴于当初数据结构实在学的太弱，加之这项工作算是为大家之后复习、机试铺路。确实是一个迫切需要做的大规模工作。行胜于言，虽然从第二篇开始，坚持下去。

• 此文部分为自己写，部分参考网上内容。提前说一下哈。期待批评指正

一、最小生成树

二、拓扑排序

三、课后题

1、7-10 公路村村通（30 分）

输入样例:

6 15
1 2 5
1 3 3
1 4 7
1 5 4
1 6 2
2 3 4
2 4 6
2 5 2
2 6 6
3 4 6
3 5 1
3 6 1
4 5 10
4 6 8
5 6 3

输出样例：

12

/***************2019.5.4-9:20-12:00  12:40-13:00***********/
//08-图7 公路村村通 3h
#include<cstdio>
#define MaxSize 1008
 
typedef struct ENode *Edge;
struct ENode{
	int V1,V2;
	int weight;
}E[MaxSize*3],tmp,X; 
 
int Home[MaxSize];
 
void Insert(int i){
	tmp=E[i];
	for(i;E[i/2].weight>tmp.weight;i=i/2){
		E[i]=E[i/2];
	}
	E[i]=tmp;
}
 
void Delete(int end){
	if(end==0) return;
	tmp=E[end];
	int Parent,Child;
	for(Parent=1;Parent*2<=end;Parent=Child){
		Child=Parent*2;
		if(Child!=end&&E[Child].weight>E[Child+1].weight) Child+=1;
		if(tmp.weight<=E[Child].weight) break;
		else E[Parent]=E[Child];
	}
	E[Parent]=tmp;
}
 
int Together(int V1,int V2){
	int P1=V1;
	int P2=V2;
	while(Home[P1]>0) P1=Home[P1];
	while(Home[P2]>0) P2=Home[P2];
	if(P1==P2) return 1;
	else {
		if(Home[P1]<Home[P2]){
			Home[P1]=Home[P1]+Home[P2];
			Home[P2]=P1;
		}
		else{
		    Home[P2]=Home[P1]+Home[P2];
			Home[P1]=P2;	
		}
		return 0;
	}
}
 
 
 
int main(){
	int N,M;
	int i;
	scanf("%d%d",&N,&M);
	E[0].weight=-1;
	for(i=1;i<=M;i++){
		scanf("%d%d%d",&E[i].V1,&E[i].V2,&E[i].weight);
		Insert(i);
	}
	int end=M;
	long long Cost=0;
	int Enum=0;
	for(i=1;i<=N;i++) Home[i]=-1;
	while(1){
		X=E[1];
		Delete(end--);
		if(end<0) break;
		
/*		if(!Visited[X.V1]||!Visited[X.V2]){//这里不能保证v1和v2有边 v3和v4有边 然后连通这两个顶点 
			Visited[X.V1]=1;
			Visited[X.V2]=1;
			Cost+=X.weight;
			Enum++;
			if(Enum==N-1) break;
		}*/ 
		
        if(!Together(X.V1,X.V2)){//在一起跳过，不在一起在一起 
			Cost+=X.weight;
			Enum++;
			if(Enum==N-1) break;
	    }
    }
	if(Enum==N-1) printf("%lld\n",Cost);
	else printf("-1\n");
	return 0;
}

2、7-12 How Long Does It Take(30分)

9 12
0 1 6
0 2 4
0 3 5
1 4 1
2 4 1
3 5 2
5 4 0
4 6 9
4 7 7
5 7 4
6 8 2
7 8 4

Sample Output 1:

18

这道题是拓扑排序的变形，一个项目的每个节点记录了该节点的最早完成时间，因为要完成该节点之后的事件，必须完成该节点所有前驱节点的事件，所以该节点最早完成时间等于该节点所有前驱节点的最早完成时间+前驱节点到该节点所需的时间（边权重）中的最大值。具体代码实现如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
 
#define MaxVertexNum 105    /* 最大顶点数设为100 */
typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
typedef int DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为整型 */
 
/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
 
/* 邻接点的定义 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; 
struct AdjVNode{
    Vertex AdjV;        /* 邻接点下标 */
    WeightType Weight;  /* 边权重 */
    PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一个邻接点的指针 */
};
 
/* 顶点表头结点的定义 */
typedef struct Vnode{
    PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
    DataType Earliest;      /* 存顶点的数据 */
} AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是邻接表类型 */
 
/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{  
    int Nv;     /* 顶点数 */
    int Ne;     /* 边数   */
    AdjList G;  /* 邻接表 */
};
typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */
 
LGraph BuildGraph(); 
bool TopSort( LGraph Graph, Vertex TopOrder[] );
 
int main()
{
	LGraph graph;
	Vertex TopOrder[MaxVertexNum];
	int i,max = 0;  //所有检查点最早完成时间的最大值 
	
	graph = BuildGraph();
	if( !TopSort(graph,TopOrder) )
		printf("Impossible\n");
	else{
		for(i=0; i<graph->Nv; i++){
			if(graph->G[i].Earliest > max){
				max = graph->G[i].Earliest;
			}
		}
		printf("%d\n",max);
	} 
	
	return 0;
}
 
LGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
    Vertex V;
    LGraph Graph;
     
    Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* 初始化邻接表头指针 */
    /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        Graph->G[V].FirstEdge = NULL;
             
    return Graph; 
}
        
void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )
{
    PtrToAdjVNode NewNode;
     
    /* 插入边 <V1, V2> */
    /* 为V2建立新的邻接点 */
    NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V2;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    /* 将V2插入V1的表头 */
    NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;
}
 
LGraph BuildGraph()
{
    LGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
     
    scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ 
     
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ 
        E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */ 
        /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接表中 */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 
    
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        Graph->G[V].Earliest = 0;  //初始化每个顶点的最早完成时间为0天 
 
    return Graph;
}
 
/* 邻接表存储 - 拓扑排序算法 */
bool TopSort( LGraph Graph, Vertex TopOrder[] )
{ /* 对Graph进行拓扑排序,  TopOrder[]顺序存储排序后的顶点下标 */
    int Indegree[MaxVertexNum], cnt;
    Vertex V;
    PtrToAdjVNode W;
    Vertex queue[MaxVertexNum];  //结点队列
    int head = 0,tail = 0;       //队列头尾指针
  
    /* 初始化Indegree[] */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        Indegree[V] = 0;
         
    /* 遍历图，得到Indegree[] */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        for (W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next)
            Indegree[W->AdjV]++; /* 对有向边<V, W->AdjV>累计终点的入度 */
             
    /* 将所有入度为0的顶点入列 */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        if ( Indegree[V]==0 )
            queue[tail++] = V;
             
    /* 下面进入拓扑排序 */ 
    cnt = 0; 
    while( head < tail ){
        V = queue[head++]; /* 弹出一个入度为0的顶点 */
        TopOrder[cnt++] = V; /* 将之存为结果序列的下一个元素 */
        /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ){
		/*W->Adjv结点处的最早完成时间为（每个前面必须完成结点的最早完成时间+边的权重）的最大值*/
        	if( Graph->G[V].Earliest+W->Weight > Graph->G[W->AdjV].Earliest) 
        		Graph->G[W->AdjV].Earliest = Graph->G[V].Earliest+W->Weight;
			if ( --Indegree[W->AdjV] == 0 )/* 若删除V使得W->AdjV入度为0 */
                queue[tail++] = W->AdjV; /* 则该顶点入列 */
		} 
    } /* while结束*/
     
    if ( cnt != Graph->Nv )
        return false; /* 说明图中有回路, 返回不成功标志 */ 
    else
        return true;
}

3、7-11 关键活动(30分)

输入样例:

7 8
1 2 4
1 3 3
2 4 5
3 4 3
4 5 1
4 6 6
5 7 5
6 7 2

输出样例:

17
1->2
2->4
4->6
6->7

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#define inf 999999
using namespace std;
struct vertex{
	int earliest;
	int latest;
}v[105]; 
struct node{
	int x,y,rank;
	friend bool operator < (node a, node b)
	{
		if(a.x==b.x)
		{
			return a.rank<b.rank;
		}
		else	return a.x>b.x;
	}
}np,na;
 
queue<int>q;
priority_queue<node>q2;
int c[105][105],d[105][105],In[105] = {0},Out[105] = {0};
 
int main()
{
	int n,m,a,b,t,i,j,x,cnt = 0,max = 0,flag = 0;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(i = 1; i <= 105; i++)
	{
		v[i].earliest = 0;
		v[i].latest = inf;
	}
	for(i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(j = 1; j<= n; j++)
		{
			c[i][j] = inf;
		}
	}
	for(i = 0; i < m; i++)
	{
		scanf("%d %d %d",&a,&b,&t);
		c[a][b] = t;
		np.x = a;
		np.y = b;
		np.rank = ++cnt;
		q2.push(np);
		In[b]++;
		Out[a]++;
	}
	cnt = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++)
	{
		if(In[i]==0)
		{
			v[i].earliest = 0;
			q.push(i);
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		x = q.front();
		q.pop();
		cnt++;
		if(v[x].earliest>=max)
		{
			max = v[x].earliest;
		}
		for(i = 1; i <= n; i++)
		{
			if(c[x][i]!=inf)
			{
				if(v[i].earliest<=v[x].earliest+c[x][i])
				{
					v[i].earliest = v[x].earliest+c[x][i];
				}
				if(--In[i]==0)
				{
					q.push(i);
				}
			}
		}
	}
	if(cnt!=n)	printf("0\n");
	else
	{
		flag = 1;
		printf("%d\n",max);
	}
	if(flag)
	{
		for(i = 1; i <= n; i++)
		{
			if(Out[i]==0)
			{
				v[i].latest = max;
				q.push(i);
			}
		}
		while(!q.empty())
		{
			x = q.front();
			q.pop();
			for(i = 1; i <= n; i++)
			{
				if(c[i][x]!=inf)
				{
					if(v[i].latest >= v[x].latest-c[i][x])
					{
						v[i].latest = v[x].latest-c[i][x];
					}
					if(--Out[i]==0)	q.push(i);
				}
			}
		}
		while(!q2.empty())
		{
			na = q2.top();
			d[na.x][na.y] = v[na.y].latest-v[na.x].earliest-c[na.x][na.y];
			if(d[na.x][na.y]==0)
			{
				printf("%d->%d\n",na.x,na.y);
			}
			q2.pop();
		}
	}
}