递归、迭代（动态规划）解决斐波那契数列

philwu000

于 2021-01-21 23:24:35 发布

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分类专栏：算法和数据结构

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本文介绍了如何使用迭代法和动态规划解决斐波那契数列问题，详细阐述了两种方法的时间复杂度和空间复杂度。通过Java代码展示了如何用两个变量优化迭代过程，将空间复杂度降低到常数级别。这种方法对于计算斐波那契数列的中后期项具有较高的效率。

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题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1） $n≤39n\leq39$ 。

解决思路

递归， $f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$ ，自上而下求解并回溯到根节点，是一颗完全二叉树，所以时间复杂度O( $2^n$ )；空间复杂度为递归栈的大小，所以是O(n)。
迭代（动态规划）：自下而上求解，记录下中间值，dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=dp[1]+dp[0]…这样迭代到dp[n]即为所得解，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。因为每轮迭代只和三个元素相关，我们可以用2个变量不断更新来替代数组，first=0,sum=1,sum=sum+first,first=sum-first…，优化后空间复杂度为O(1)。

Java实现

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
    //迭代法，数组记录中间值
//        int[] res = new int[40];
//        res[0]=0;
//        res[1]=1;
//        for(int i=2;i<=n;i++){
//            res[i]=res[i-1]+res[i-2];
//        }
//        return res[n];
		//直接用两个变量更新中间值
        int first = 0, sum = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            sum += first;
            first = sum - first;
        }
        return n == 0 ? first : sum;
    }
}