《LeetCode之每日一题》：58.整数拆分

题目链接： 整数拆分

有关题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 
返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

题解

法一：动态规划

①构建数组dp[i]：表示将正整数 i 拆分成至少两个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积。
②初始值:0和1不可以拆分dp[0] = dp[1] = 1
③转移方程：对于i拆分为j 与 i - j
	要么i - j 不可拆分 dp[i] = j * (i - j)
	要么i - j 可以拆分 dp[i[ = j * dp[i - j]
	由于找出最大值所以我们在两者之间找出最大值

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            int curMax = 0;
            for (int j = 1; j < i; j++)
            {
              curMax = max(curMax,max(j * (i - j),j * dp[i - j]));//找出最大值dp[i]
            }
            dp[i] = curMax;
        }
        return dp[n];
    }
};

法二：数学
参考官方题解函数极值证明法

通过讨论上述函数的极值我们发现
应该将给定的正整数拆分成尽可能多的 3
同时我们得对3继续分类讨论

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
         if (n <= 3)
        {
            return n - 1;
        }
        int quotient = n / 3;
        int remainder = n % 3;
        if (remainder == 0)
            return (int)pow(3,quotient);
        else if (remainder == 1)
            return (int)pow(3,quotient - 1) * 4;
        else
            return (int)pow(3,quotient) * 2;
    }
};