[洛谷模拟赛T2]画地为佬——[简单数学]

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Mega_Aspirin/article/details/103038360

本文探讨了使用火柴棒拼接正方形的数学问题，通过数列知识推导出最优解法，并提供了一种O(1)的快速算法实现，适用于编程竞赛和算法优化场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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【题意分析】

题意：用 $n$ 根火柴棒最多可以摆成几个正方形，不一定要用完火柴棒

首先明确摆法是贴着边一个一个摆下来的，摆法有很多而且都是等价的，我是这么摆的：

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那么正方形就是一层一层地摆下来的，那么接下来有两种求法：

每一层比前一层多摆4根火柴，那么根据数列知识：

$a1=4,an+1−an=4(n∈N∗)a_1=4,a_{n+1}-a_n=4(n\in \N ^*)$

$⇒Sn=2n2+2n\Rightarrow S_n=2n^2+2n$

或者直接观察：前n层火柴总和就是 $2*n*(n+1)=2n^2+2n$

那么我们需要解出给你的火柴根数最多可以摆出几层。

$2n2+2n≥x2n^2+2n\geq x$

$⇒n≥−2+4+8x4\Rightarrow n\geq\frac{-2+\sqrt{4+8x}}{4}$

那你floor一下就好了，我们设这个层数为n

求出剩下还有 $x-(2n^2+2n)$ 根火柴

接下来你就分类讨论：因为开始的那个正方形需要3根

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接下来一段都是两根一个：

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下面这个是三根：

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剩下的一段全都是两根一个：

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这样就好了，每次询问回答是 $O (1)$ 的

时间复杂度 $O (T)$

Code：

#pragma GCC optimize (2)
#pragma GCC optimize ("Ofast")
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;

inline int read () {
	register int s = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	while (! isdigit (ch)) {if (ch == '-') w = -1; ch = getchar ();}
	while (isdigit (ch)) {s = (s << 3) + (s << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar ();}
	return s * w;
}

signed main () {
	int T = read ();
	for (register int I = 1; I <= T; ++I) {
		int x = read (), layer = floor ((double) ((sqrt (4 + 8 * x) - 2) / 4));
		if (x <= 4) {printf ("%d\n", x / 4); continue;}
		x -= 2 * layer * layer + 2 * layer; int res = layer * layer;
		if (x <= 2) printf ("%lld\n", res);
		else if (x <= 3 + (layer - 1) * 2) printf ("%lld\n", res + 1 + (x - 3) / 2);
		else if (x < 6 + (layer - 1) * 2) printf ("%lld\n", res + layer);
		else if (x == 6 + (layer - 1) * 2) printf ("%lld\n", res + layer + 1);
		else printf ("%lld\n", res + (x - 6) / 2 + 2);
	}
	return 0;
}