[APIO2010]特别行动队——[斜率优化DP]

【题目描述】

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如$(i,i+1,...,i+k)$的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，
即$x_i+x_{i+1}+...+x_{i+k}$​ 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 $x^{\prime }:x^{\prime }=a{x}^2+bx+c$，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， $x_1=2,x_2=2,x_3=3,x_4=4$。经验公式中的参数为$a=–1,b=10,c=–20$。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

【输入格式】

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，分别表示编号为 $1,2,\dots ,n$ 的士兵的初始战斗力。

【输出格式】

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

$SampleInput$

4
-1 10 -20
2 2 3 4

$SampleOutput$

9

【题意分析】

正常的OI选手都可以推出的暴力dp：

d p i = max ⁡ 1 ≤ j < i { d p j + a ( s i − s j ) 2 + b ( s i − s j ) + c } dp_i=\max_{1\leq j < i}{\{dp_j+a(s_i-s_j)^2+b(s_i-s_j)+c \}} dpi​=1≤j<imax​{dpj​+a(si​−sj​)2+b(si​−sj​)+c}

其中s[i]表示前缀和。

那么显然只能拿到20pts，这个式子具有很明显的斜率优化特征。

根据斜率优化套路假设$x$这个决策比$y$更优。（假设$x>y$并且下面的$slope(x,y)$中x也比y大）

令j分别等于x和y，暴展得到：

$$d{p}_x+a(s_i-s_x{)}^2+b(s_i-s_x)+c>d{p}_y+a(s_i-s_y{)}^2+b(s_i-s_y)+c$$

$$\Rightarrow \frac{(d{p}_x+a{s}_x{)}^2-(d{p}_y+a{s}_y{)}^2}{s_x-s_y}>2a{s}_i+b$$

这样根据$a<0$这个条件，不等式右侧单调递减，两边同乘-1

$$\Rightarrow -\frac{(d{p}_x+a{s}_x{)}^2-(d{p}_y+a{s}_y{)}^2}{s_x-s_y}<-2a{s}_i-b$$

这样成功地可以进行$slope$维护一个下凸包

就到这里吧

Code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define int long long
#define MAXN 1000010
#define db double
using namespace std;

int sum[MAXN], dp[MAXN], q[MAXN], n, a, b, c;

inline int read () {
	register int s = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	while (! isdigit (ch)) {if (ch == '-') w = -1; ch = getchar ();}
	while (isdigit (ch)) {s = (s << 3) + (s << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar ();}
	return s * w;
}

inline int sqr (int x) {return x * x;}
inline int f (int x) {return a * sqr (x) + b * x + c;}
inline int g (int x) {return dp[x] + a * sqr (sum[x]);}
inline db slope (int x, int y) {return -1.0 * (g (x) - g (y)) / (sum[x] - sum[y]);}

signed main () {
	n = read (), a = read (), b = read (), c = read ();
	for (register int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + read ();
	int h = 0, t = 0;
	for (register int i = 1; i <= n; i++) {
		while (h < t && slope (q[h + 1], q[h]) < - (2 * a * sum[i] + b)) h++;
		dp[i] = dp[q[h]] + f (sum[i] - sum[q[h]]);
		while (h < t && slope (q[t], q[t - 1]) > slope (i, q[t])) t--;
		q[++t] = i;
	}
	return printf ("%lld\n", dp[n]), 0;
}