【BZOJ2658】小蓝的好友（ZJOI2012）-扫描线+Treap

最新推荐文章于 2021-02-18 20:59:02 发布

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本文介绍了一种结合Treap（一种自平衡二叉搜索树）与扫描线算法解决复杂几何问题的方法。通过构建Treap来高效处理动态区间更新与查询，实现O(nlogn)的时间复杂度。

测试地址：小蓝的好友
做法：本题需要用到扫描线+Treap。
首先，很快想到补集转化，用总的子矩形数（ $\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{m(m+1)}{2}$ ）减去不包含任何资源点的子矩形数计算答案。
考虑自上而下用扫描线，每次计算下边界在某一行的，不包含任何资源点的子矩形数目。考虑上边界所在的行，这一行能选为上边界的区间数目与这一行与下面的行的资源点有关，每个资源点会将上面的每一行的某些区间划分成两个部分。于是想到维护每一列最低的资源点位置，然后每个点向分裂成的两个新区间内的最低点连边，形成一棵二叉树。我们发现，在这棵二叉树中，DFS序就是列的顺序，而父亲的高度总比儿子的高度要低，这就是一棵Treap（好像又称笛卡尔树）了。
考虑有了这棵Treap，如何计算可以作为上边界的区间数目。因为DFS序就是列的顺序，所以一棵子树就表示一个区间，而子树的根是高度最低的资源点，以它父亲为根的子树是一个新的区间，我们发现这棵子树的根可以代表一个小矩形，表示父亲分裂的行开始向上，到这个根分裂之前的行，这棵子树所代表的整个区间的所有列组成的小矩形，显然这个小矩形内任意一个区间都可以作为上界。而这样我们就可以根据整个Treap每个点的高度，子树大小等信息，不重复地统计出当前行的答案了。
接下来考虑新的一行，首先所有点的高度都 $+1$ ，因为我们计算信息时实际上用的是高度的差，于是我们开一个空点作为整棵Treap根的父亲，当进行这个操作时，只要将空点的高度
$-1$ 即可。然后是新增一个资源点，实际上就是把某一列的高度弄到和空点的高度相同，只需一路转上去，顺便维护信息即可。注意修改一个点时，这个点以及它儿子的信息都会改变。因为资源点的位置随机，所以Treap的平均深度是 $O(\log n)$ 的，所以总的时间复杂度为 $O(n\log n)$ ，可以通过此题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,ch[40010][2]={0},pre[40010];
ll r,c,h[40010]={0},ans,tot,siz[40010]={0};
struct point
{
    ll x,y;
}p[100010];

bool cmp(point a,point b)
{
    return a.x<b.x;
}

void buildtree(int l,int r,int fa,int type)
{
    if (l>r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    pre[mid]=fa;
    ch[fa][type]=mid;
    if (l==r) {siz[mid]=1;return;}
    buildtree(l,mid-1,mid,0);
    buildtree(mid+1,r,mid,1);
    siz[mid]=siz[ch[mid][0]]+siz[ch[mid][1]]+1;
}

void update(int v,ll type)
{
    tot+=type*siz[v]*(siz[v]+1ll)/2ll*(h[v]-h[pre[v]]);
}

void modify(int x,ll newh)
{
    update(x,-1ll);
    if (ch[x][0]) update(ch[x][0],-1ll);
    if (ch[x][1]) update(ch[x][1],-1ll);
    h[x]=newh;
    update(x,1ll);
    if (ch[x][0]) update(ch[x][0],1ll);
    if (ch[x][1]) update(ch[x][1],1ll);

    while(pre[x])
    {
        int y=pre[x];
        bool f=(ch[y][0]==x);
        if (ch[x][f]) update(ch[x][f],-1ll);
        update(x,-1ll);
        update(y,-1ll);

        ch[y][!f]=ch[x][f];
        pre[ch[x][f]]=y;
        ch[x][f]=y;
        ch[pre[y]][ch[pre[y]][1]==y]=x;
        pre[x]=pre[y];
        pre[y]=x;

        siz[y]=siz[ch[y][0]]+siz[ch[y][1]]+1;
        siz[x]=siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]]+1;
        if (ch[y][!f]) update(ch[y][!f],1ll);
        update(x,1ll);
        update(y,1ll);
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%d",&r,&c,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
    sort(p+1,p+n+1,cmp);

    buildtree(1,c,0,1);
    ans=0,tot=0;
    int now=1;
    for(int i=1;i<=r;i++)
    {
        if (ch[0][0]) update(ch[0][0],-1ll);
        if (ch[0][1]) update(ch[0][1],-1ll);
        h[0]--;
        if (ch[0][0]) update(ch[0][0],1ll);
        if (ch[0][1]) update(ch[0][1],1ll);

        while(now<=n&&p[now].x==i)
        {
            modify(p[now].y,h[0]);
            now++;
        }
        ans+=tot;
    }
    printf("%lld",r*(r+1ll)/2ll*c*(c+1ll)/2ll-ans);

    return 0;
}