【NOI2009T1】变换序列-二分图匹配

最新推荐文章于 2024-06-22 17:13:56 发布

Maxwei_wzj

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分类专栏：图论-二分图

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本文介绍了一种解决特定变换序列问题的方法，该问题可通过构建二分图并使用匈牙利算法求解完美匹配来解决。文章详细阐述了如何根据题目条件建立图模型，并通过匈牙利算法求得字典序最小的解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

测试地址：变换序列

做法：将原来的点i分为一个集合，变换序列中的点Ti分为一个集合，成为一个二分图，分析题目得知一个点最多跟四个其他的点相连，那么问题就转化为了求二分图的一个完美匹配，且使得变换序列字典序最小。对于每一个点i，如果Di>N/2，直接判定无解，因为根据Di的定义，在合法的情况下Di的最大值是N/2。再然后，我们发现点i相连的点可能是：i-N+Di，i-Di，i+Di，i+N-Di，因为Di≤N/2，所以N-Di≥Di，从而证明以上的四个点是从小到大排列的。判断这四个点是否在区间[0,N-1]中（注意点的标号是从0开始！！！），如果在就在原点集合中的i向变换序列集合的这些点连边。然后用匈牙利算法求完美匹配，然而匈牙利算法只能保证找到最大的匹配，字典序最小的要怎么办呢？答案就是在最外层从N-1到0增广，每次先选连向标号小的点的边，这样可以保证每次增广解都不会变差，最后得到的也就是最优解了。当然最后还要留个心眼，如果最大匹配都不足N，就是无解，否则逐个输出与原点集合中点相连的点的标号即可。

以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,tot=0,first[10010]={0},cx[10010],cy[10010],match=0;
struct edge {int v,next;} e[40010];
bool vis[10010];

void insert(int a,int b)
{
  e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],first[a]=tot;
}

int findpath(int v)
{
  vis[v]=1;
  for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
    if (cy[e[i].v]==-1||(!vis[cy[e[i].v]]&&findpath(cy[e[i].v])))
	{
	  cx[v]=e[i].v;
	  cy[e[i].v]=v;
	  return 1;
	}
  return 0;
}

void hungary()
{
  memset(cx,-1,sizeof(cx));
  memset(cy,-1,sizeof(cy));
  for(int i=n-1;i>=0;i--)
  {
    if (cx[i]==-1)
	{
	  memset(vis,0,sizeof(vis));
	  match+=findpath(i);
    }
  }
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for(int i=0,d;i<n;i++)
  {
    scanf("%d",&d);
	if (2*d>n) {printf("No Answer");return 0;}
	if (i+n-d<n) insert(i,i+n-d);
	if (i+d<n) insert(i,i+d);
	if (i-d>=0) insert(i,i-d);
	if (i-n+d>=0) insert(i,i-n+d); //注意插入顺序
  }
  
  hungary();
  if (match<n) printf("No Answer");
  else
  {
    for(int i=0;i<n-1;i++)
	  printf("%d ",cx[i]);
	printf("%d",cx[n-1]);
  }
  
  return 0;
}