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🔥 内容介绍
在医学成像、无损检测等诸多领域，图像重建技术是获取高质量图像的关键。原始对偶算法凭借独特的优化策略，在图像重建问题上展现出强大潜力。CTPD、LS、LASSO、TV、ADMM、FISTA 等算法基于原始对偶框架，从不同维度对图像重建过程进行优化。本文将深入探究这些算法的原理、特点及在图像重建中的应用效果。
一、原始对偶算法基本原理
原始对偶算法基于凸优化理论，核心在于将原始问题转化为对偶问题，通过交替更新原始变量和对偶变量，实现对优化问题的求解。在图像重建场景中，原始问题通常是基于测量数据恢复原始图像的目标函数优化问题，其目标是在满足测量约束的条件下，使重建图像与真实图像的差异最小化。而对偶问题则是从另一个角度对原始问题进行重新表述，通过引入对偶变量，构建对偶目标函数。原始对偶算法通过不断迭代更新原始变量（图像像素值）和对偶变量，在原始问题和对偶问题之间建立联系，逐步逼近最优解，从而实现高质量的图像重建 。
二、CTPD 算法在图像重建中的应用
（一）算法原理
CTPD（Computed Tomography Primal-Dual）算法专门针对计算机断层扫描（CT）图像重建设计。它结合 CT 成像的物理模型，在原始对偶框架下，将 CT 扫描获取的投影数据与图像重建目标相结合。算法通过构建合适的目标函数，同时考虑图像的保真度（即重建图像与投影数据的一致性）和正则化项（用于约束图像的平滑性、稀疏性等先验信息）。在迭代过程中，CTPD 算法交替更新原始变量（图像像素）和对偶变量，利用投影数据的约束条件，逐步调整图像像素值，使重建图像能够准确反映物体的内部结构。
（二）应用效果
在实际 CT 图像重建中，CTPD 算法能够有效减少伪影，提高图像的分辨率和对比度。相较于传统 CT 重建算法，它可以在较低的辐射剂量下，重建出质量更高的图像，降低患者接受的辐射危害，同时满足医学诊断对图像清晰度和准确性的要求 。
三、LS 算法在图像重建中的应用
（一）算法原理
LS（Least Squares，最小二乘法）算法基于原始对偶框架，以最小化测量数据与重建图像投影数据之间的误差平方和为目标。在图像重建中，它将图像重建问题转化为一个最小二乘优化问题，通过求解该优化问题得到重建图像。具体而言，算法构建的目标函数为测量数据与基于当前图像估计的投影数据之间差值的平方和，通过不断调整图像像素值，使目标函数达到最小值。在原始对偶算法的迭代过程中，LS 算法通过更新原始变量和对偶变量，逐步优化图像重建结果，以最小化重建误差。
（二）应用效果
LS 算法具有计算简单、收敛速度快的优点，适用于对重建速度要求较高的场景。但由于其仅考虑数据保真度，缺乏对图像结构信息的约束，在处理噪声较大或数据缺失的情况时，重建图像容易出现过拟合现象，导致图像细节模糊、噪声放大等问题 。
四、LASSO 算法在图像重建中的应用
（一）算法原理
LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，最小绝对收缩和选择算子）算法在原始对偶框架下，通过在目标函数中引入 L1 正则化项，使重建图像具有稀疏性。L1 正则化项能够促使图像中不重要的像素值趋近于零，从而实现图像的稀疏表示。在图像重建过程中，LASSO 算法在保证测量数据拟合度的同时，利用 L1 正则化约束图像的稀疏性，通过原始对偶算法的迭代更新，找到满足条件的稀疏解，即重建图像。
（二）应用效果
LASSO 算法在处理具有稀疏特性的图像重建问题时表现出色，能够有效去除噪声，保留图像的主要结构信息。例如在磁共振成像（MRI）中，利用 LASSO 算法可以在减少扫描时间的情况下，重建出高质量的图像，提高成像效率 。
五、TV 算法在图像重建中的应用
（一）算法原理
TV（Total Variation，全变分）算法基于原始对偶框架，通过引入全变分正则化项来约束图像的平滑性和边缘信息。全变分正则化项计算图像中像素值的梯度变化之和，其作用是在保持图像边缘的前提下，使图像内部区域尽可能平滑。在图像重建中，TV 算法构建的目标函数结合了数据保真项和全变分正则化项，通过原始对偶算法的迭代优化，在满足测量数据约束的同时，调整图像像素值，以达到最佳的重建效果 。
（二）应用效果
TV 算法在抑制图像噪声、保护图像边缘方面具有显著优势，尤其适用于医学图像重建等对边缘信息要求较高的领域。但 TV 算法也存在一定局限性，当图像中存在复杂纹理或精细结构时，可能会过度平滑图像，导致细节丢失 。
六、ADMM 算法在图像重建中的应用
（一）算法原理
ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers，交替方向乘子法）算法在原始对偶框架下，将复杂的图像重建问题分解为多个子问题，并通过交替更新变量和引入拉格朗日乘子来求解。在图像重建过程中，ADMM 算法将目标函数分解为数据保真项、正则化项等多个部分，分别对每个部分进行优化。通过交替更新原始变量、对偶变量和拉格朗日乘子，在不同子问题之间进行协调，逐步逼近最优解，实现图像重建 。
（二）应用效果
ADMM 算法具有良好的可扩展性和收敛性，能够处理大规模图像重建问题。它可以灵活地结合多种正则化方法，适应不同类型的图像重建需求，在复杂场景下也能取得较好的重建效果 。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
function Dx = Tot_Var(e,W)
Dx = W;
global nonzero_1
global nonzero_2
global nonzero_vector
de = e(nonzero_1) - e(nonzero_2);
Dx(nonzero_vector) = W(nonzero_vector).*de;
% for k = 1 : length(I)
% i = I(k);
% j = J(k);
% Dx(j,i) = (e(j) - e(i))*W(i,j);
% end
% clear de;
🔗 参考文献
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2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类
2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类
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2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类
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2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类
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2.15 模糊小波神经网络预测和分类
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2.17 时序、回归预测预测和分类
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2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类
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