【图像加密】基于Lorenz超混沌系统和Rivest-Shamir-Adleman（RSA）算法的新图像加密算法，信息熵敏感性分析附matlab代码

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摘要： 信息安全日益重要的今天，图像加密技术成为保障图像数据安全的关键手段。本文提出一种基于Lorenz超混沌系统和RSA算法相结合的新型图像加密算法。该算法利用Lorenz超混沌系统产生伪随机序列，对图像进行置乱和扩散操作，同时结合RSA算法对置乱密钥进行加密，进一步增强算法的安全性。本文详细阐述了算法的实现原理，并对其进行了信息熵和敏感性分析。实验结果表明，该算法具有较高的信息熵，对密钥具有极强的敏感性，能够有效地抵抗常见的密码学攻击，具有良好的加密性能。

关键词： 图像加密，Lorenz超混沌系统，RSA算法，信息熵，敏感性分析

1. 引言

随着互联网的迅猛发展和多媒体技术的广泛应用，图像信息作为一种重要的信息载体，在各个领域发挥着越来越重要的作用。然而，图像信息在传输和存储过程中，面临着被非法窃取、篡改等安全威胁。因此，图像加密技术作为一种有效的信息安全手段，受到了广泛的关注和研究。

传统的图像加密算法，如DES、AES等，虽然在文本加密领域取得了良好的效果，但由于图像数据具有数据量大、冗余度高等特点，直接应用这些算法往往效率较低。因此，研究人员纷纷致力于开发针对图像特点的专用加密算法。混沌系统由于其具有对初始条件的极端敏感性、伪随机性、遍历性等特性，被广泛应用于图像加密领域。

近年来，基于混沌系统的图像加密算法取得了显著的进展。然而，单一的混沌系统加密算法往往存在安全性不足的问题，容易受到已知明文攻击、选择明文攻击等密码学攻击。为了提高图像加密算法的安全性，研究人员开始探索将混沌系统与其他加密算法相结合的方法。

本文提出一种基于Lorenz超混沌系统和RSA算法相结合的新型图像加密算法。该算法利用Lorenz超混沌系统生成伪随机序列，对图像进行置乱和扩散操作，并将置乱密钥通过RSA算法进行加密，从而实现图像的双重加密。本文重点对该算法的信息熵和敏感性进行分析，以评估其加密性能和安全性。

2. 算法原理

2.1 Lorenz超混沌系统

Lorenz超混沌系统是在Lorenz混沌系统基础上扩展而来的一种高维混沌系统，其动力学方程如下：

ini

dx/dt = a(y - x) dy/dt = cx - xz - y dz/dt = xy - bz dw/dt = -y*w + r

其中，x, y, z, w为系统的状态变量，a, b, c, r为系统参数。当参数满足特定条件时，该系统会呈现出超混沌状态，即具有两个或两个以上正的 Lyapunov 指数，表现出更加复杂的混沌行为。

Lorenz超混沌系统具有以下特点：

高维混沌:
相较于低维混沌系统，超混沌系统具有更高的复杂度和不可预测性，能够提供更强的安全性保障。
参数敏感性:
超混沌系统对参数的变化非常敏感，微小的参数变化会导致系统轨迹的显著改变。
连续性:
超混沌系统是连续时间系统，可以根据需要调整采样频率，生成不同长度的伪随机序列。

2.2 RSA算法

RSA算法是一种非对称加密算法，是目前应用最广泛的公钥密码系统之一。RSA算法基于大数分解的数学难题，其安全性依赖于分解两个大素数的乘积的难度。

RSA算法的密钥生成过程如下：

选择两个互异的大素数p和q。
计算n = p * q，n为模数。
计算欧拉函数φ(n) = (p - 1) * (q - 1)。
选择一个整数e，1 < e < φ(n)，且gcd(e, φ(n)) = 1，e为公钥指数。
计算d，使得d * e ≡ 1 (mod φ(n))，d为私钥指数。

则公钥为(n, e)，私钥为(n, d)。

加密过程：将明文M（M < n）加密成密文C，公式为：C = Me mod n

解密过程：将密文C解密成明文M，公式为：M = Cd mod n

2.3 加密算法流程

本文提出的图像加密算法的流程如下：

密钥生成:
- 随机生成Lorenz超混沌系统的初始值x0, y0, z0, w0和系统参数a, b, c, r。
- 使用这些初始值和参数，迭代Lorenz超混沌系统，生成四个伪随机序列X, Y, Z, W。
- 从四个序列中提取若干值，构成置乱密钥K1和扩散密钥K2。
- 利用RSA算法，使用接收者的公钥对置乱密钥K1进行加密，得到加密后的置乱密钥K1'。
图像置乱:
- 根据置乱密钥K1，对图像进行像素级别的置乱操作，改变像素的位置，打乱图像的结构。常用的置乱方法包括 Arnold 变换、Fibonacci 变换等。本文采用基于伪随机序列的像素置换方法。
- 将图像转化为一维数组。
- 利用伪随机序列K1生成置乱索引。
- 根据置乱索引对一维数组进行重新排序，完成图像置乱。
图像扩散:
- 根据扩散密钥K2，对置乱后的图像进行像素值的扩散操作，改变像素的值，使图像的像素值分布更加均匀。常用的扩散方法包括异或运算、加法运算等。本文采用基于混沌序列的异或扩散方法。
- 将置乱后的图像转化为一维数组。
- 利用伪随机序列K2生成扩散密钥序列。
- 将扩散密钥序列与一维数组进行异或运算，完成图像扩散。
密文传输: 将加密后的图像和加密后的置乱密钥K1'发送给接收者。
解密算法流程：
- 接收者收到加密后的图像和加密后的置乱密钥K1'。
- 利用RSA算法，使用接收者的私钥对加密后的置乱密钥K1'进行解密，得到置乱密钥K1。
- 使用扩散密钥K2，对加密后的图像进行逆扩散操作。
- 使用置乱密钥K1，对逆扩散后的图像进行逆置乱操作，恢复原始图像。

3. 信息熵分析

信息熵是衡量信息随机性的重要指标。在图像加密中，信息熵越大，说明图像像素值的分布越均匀，加密效果越好，越难以通过统计分析进行破解。信息熵的计算公式如下：

css

H = - Σ P(i) * log2(P(i))

其中，P(i)表示像素值i出现的概率。

理想情况下，一个256级的灰度图像的信息熵应接近于8。

为了评估本文提出的加密算法的加密效果，我们对加密前后的图像进行了信息熵的计算。实验结果表明，原始图像的信息熵较低，而加密后的图像的信息熵接近于8，说明加密算法有效地改变了图像像素值的分布，提高了图像的随机性。这表明本文算法能够有效抵抗统计分析攻击。

4. 敏感性分析

敏感性分析是评估加密算法安全性的重要手段。一个好的加密算法应该对密钥具有高度的敏感性，即密钥的微小变化应该导致解密结果的巨大差异。

4.1 密钥敏感性分析

为了评估算法对密钥的敏感性，我们分别对Lorenz超混沌系统的初始值和RSA算法的密钥进行了敏感性分析。

初始值敏感性分析： 我们对Lorenz超混沌系统的初始值进行微小的改变（例如10-15），然后使用改变后的初始值进行加密和解密。实验结果表明，即使初始值的改变非常微小，解密后的图像也完全无法辨认，与原始图像相比发生了巨大的变化。这说明该算法对Lorenz超混沌系统的初始值具有极强的敏感性。
RSA密钥敏感性分析： 由于RSA算法的安全性依赖于密钥的正确性，因此任何对密钥的修改都将导致解密失败。我们对RSA算法的私钥进行了微小的修改，然后使用修改后的私钥进行解密。实验结果表明，即使私钥的改变非常微小，解密后的图像也完全无法辨认。这说明该算法对RSA算法的密钥具有极强的敏感性。