【信号处理】具有模态指标的随机子空间识别【包括一致模态指标和模态参与因子】附Matlab代码

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🔥 内容介绍

摘要： 随机子空间识别（Stochastic Subspace Identification, SSI）作为一种强大的模态分析方法，广泛应用于土木工程、机械工程等领域的结构动力特性辨识。传统的SSI方法主要依赖于稳定图来选择合适的系统阶次，然而稳定图的解释往往具有一定的主观性，且难以处理复杂结构中存在的物理模态和计算模态的区分。本文探讨了基于模态指标的随机子空间识别方法，重点介绍了两种重要的模态指标：一致模态指标（Modal Assurance Criterion, MAC）和模态参与因子（Modal Participation Factor, MPF）。通过将这些指标与SSI算法相结合，可以显著提高模态参数辨识的精度和可靠性，并有效降低人为干预，实现更加自动化的模态分析流程。

关键词： 随机子空间识别；模态指标；一致模态指标；模态参与因子；模态分析

1. 引言

结构动力学是工程领域的重要研究方向，其核心在于准确辨识结构的模态参数，包括固有频率、阻尼比和振型。这些参数对于结构的安全性评估、健康监测以及控制设计至关重要。随机子空间识别（SSI）是一种基于环境激励（如风、交通等）下的结构响应数据，进行模态参数辨识的系统辨识方法。相比于传统的强迫振动法，SSI无需人为施加激励，更加适用于大型结构或无法直接施加激励的场合。

然而，传统的SSI方法面临着一些挑战。其中一个关键问题是如何确定系统的最佳阶次。通常，工程师会通过观察稳定图来选择合适的阶次，稳定图根据不同阶次的计算结果，将固有频率、阻尼比和振型的相似程度进行可视化呈现。稳定的模态参数往往对应着真实的物理模态，而非噪声或计算模态。但稳定图的解释往往具有主观性，尤其是在高阶系统中，稳定图会变得非常复杂，难以辨别。此外，稳定图也难以区分物理模态和计算模态，导致错误的模态参数辨识。

为了解决这些问题，近年来，研究人员开始探索将模态指标引入到SSI算法中，以提高模态参数辨识的精度和可靠性。模态指标是一种定量评估模态参数质量和相似性的工具，可以有效降低人为干预，实现更加自动化的模态分析流程。本文将重点介绍两种常用的模态指标：一致模态指标（MAC）和模态参与因子（MPF），并探讨它们在SSI算法中的应用。

2. 随机子空间识别（SSI）理论基础

随机子空间识别（SSI）方法建立在状态空间模型的框架之上，其核心思想是从系统的输入输出数据中估计出系统的状态空间矩阵，进而提取出模态参数。通常，线性时不变系统的离散状态空间模型可以表示为：

x(k+1) = A x(k) + B w(k)
y(k) = C x(k) + D w(k) + v(k)

其中：

• x(k) 是 k 时刻的状态向量；

• y(k) 是 k 时刻的输出向量；

• w(k) 是 k 时刻的过程噪声；

• v(k) 是 k 时刻的测量噪声；

• A, B, C, D 是状态空间矩阵。

SSI算法的目标是从系统的输出数据 y(k) 中估计出状态空间矩阵 A, C，进而通过特征值分解求得系统的模态参数：

λ_i = α_i + jβ_i (系统的特征值)

f_i = (√(α_i² + β_i²))/(2πΔt) (固有频率)

ζ_i = -α_i / √(α_i² + β_i²) (阻尼比)

Φ_i (振型向量)

其中：

• λ_i 是第 i 阶模态的特征值；

• α_i 和 β_i 是特征值的实部和虚部；

• f_i 是第 i 阶模态的固有频率；

• ζ_i 是第 i 阶模态的阻尼比；

• Φ_i 是第 i 阶模态的振型向量；

• Δt 是采样时间间隔。

常见的SSI算法包括 SSI-DATA 和 SSI-COV 等。SSI-DATA 算法直接使用原始数据进行计算，而 SSI-COV 算法则使用数据的协方差矩阵进行计算。

3. 模态指标：一致模态指标（MAC）

一致模态指标（Modal Assurance Criterion, MAC）是一种用于衡量两组模态向量之间线性相关程度的指标。其定义如下：

MAC(Φ_i, Φ_j) = (|Φ_i^HΦ_j|²) / ((Φ_i^HΦ_i)(Φ_j^HΦ_j))

其中：

• Φ_i 和 Φ_j 分别是第 i 阶和第 j 阶模态的振型向量；

• H 表示共轭转置。

MAC 的取值范围在 0 到 1 之间。如果 MAC(Φ_i, Φ_j) 接近 1，则表明 Φ_i 和 Φ_j 具有高度线性相关性，很有可能是同一阶模态的不同估计结果。如果 MAC(Φ_i, Φ_j) 接近 0，则表明 Φ_i 和 Φ_j 线性无关，它们可能是不同的模态或者其中至少有一个是噪声或计算模态。

在 SSI 算法中，MAC 指标可以用于以下几个方面：

• 稳定图的优化：

   通过计算不同阶次计算得到的振型之间的 MAC 值，可以更清晰地识别稳定模态。只有 MAC 值接近 1 的模态才能被认为是稳定的物理模态，从而避免了主观判断带来的误差。

• 模态参数验证：

   将 SSI 算法得到的模态参数与有限元模型或其他实验结果进行比较，通过 MAC 值来评估两种方法之间的吻合程度。如果 MAC 值较低，则需要对模型进行修正或重新进行实验。

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