【MPC】模型预测控制(MPC)之多变量和状态空间研究附Matlab代码-优快云博客

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🔥 内容介绍

模型预测控制（MPC）是一种基于滚动优化的先进控制策略，自 20 世纪 70 年代问世以来，凭借其独特的优势在工业控制领域得到了广泛应用。与传统的控制方法（如 PID 控制）相比，MPC 具有能够处理约束条件、适用于多变量系统以及对模型精度要求相对不高等显著特点。

MPC 的基本原理是在每一个控制时刻，根据系统当前的状态和已知的模型，预测系统在未来一段时间内的输出轨迹。然后，通过求解一个有限时域的优化问题，得到一组最优的控制序列。但在实际应用中，只执行该控制序列的第一个元素，随后在下一个控制时刻，重复上述过程，利用新的测量值更新系统状态，重新进行预测和优化。这种滚动优化的特性使得 MPC 能够有效应对系统的不确定性和外部扰动，保证系统的稳定运行。

二、多变量系统与 MPC

（一）多变量系统的特点与挑战

多变量系统是指具有多个输入变量和多个输出变量，且变量之间存在耦合关系的系统。在实际工业过程中，大多数系统都是多变量系统，例如化工生产中的反应釜温度、压力、液位等多个变量之间相互影响，飞行器的姿态控制涉及俯仰角、偏航角、滚转角等多个变量的协同调节。

多变量系统的控制面临着诸多挑战。首先，变量之间的耦合关系使得单个变量的控制会影响到其他变量，传统的单回路控制方法难以取得理想的控制效果。其次，多变量系统往往存在输入和输出的约束条件，如执行器的饱和限制、被控变量的上下限等，如何在满足这些约束的前提下实现系统的高性能控制是一个重要的研究课题。此外，多变量系统的动态特性更为复杂，可能存在不同的时间尺度和非线性特性，增加了控制的难度。

（二）MPC 在多变量系统中的应用优势

MPC 在处理多变量系统方面具有天然的优势。首先，MPC 能够直接考虑多变量系统中的耦合关系，通过在优化目标中包含所有的输入和输出变量，实现多个变量的协同优化控制。其次，MPC 可以方便地处理各种约束条件，在优化过程中将输入、输出的约束直接纳入到优化问题的求解中，确保系统的运行满足实际工业要求。再者，MPC 的滚动优化机制能够根据系统的动态变化实时调整控制策略，适应多变量系统复杂的动态特性。

例如，在化工过程控制中，采用 MPC 可以同时对反应釜的温度、压力、液位等多个变量进行控制，通过协调各个输入变量（如加热功率、进料流量等）的变化，使多个被控变量同时达到设定值，并且避免出现超调、振荡等现象，提高了化工生产的稳定性和产品质量。

（三）多变量 MPC 的设计要点

多变量 MPC 的设计需要考虑多个关键因素。首先是系统模型的建立，准确的系统模型是 MPC 实现良好控制效果的基础。对于多变量系统，通常需要建立能够反映输入与输出之间动态关系的模型，如状态空间模型、传递函数矩阵模型等。

其次是优化目标函数的选取。优化目标函数需要根据实际控制需求来确定，通常包括跟踪误差项、控制量变化项等。在多变量系统中，还需要考虑各个变量的权重分配，以实现不同被控变量之间的优先级控制。

另外，预测时域和控制时域的选择也是多变量 MPC 设计中的重要环节。预测时域决定了 MPC 对系统未来动态行为的预测范围，过短的预测时域可能导致系统的动态性能不佳，过长的预测时域则会增加计算负担。控制时域则决定了优化问题中需要求解的控制序列长度，合适的控制时域能够在保证控制性能的同时减少计算量。

最后，约束条件的处理也是多变量 MPC 设计的关键。需要明确系统的输入约束（如阀门的开度范围、泵的最大流量等）、输出约束（如温度的上下限、压力的安全范围等）以及状态约束（如某些内部状态变量的限制），并将这些约束正确地融入到优化问题中。

三、状态空间模型与 MPC

（三）状态估计在基于状态空间模型的 MPC 中的应用

在实际应用中，系统的状态变量往往不能全部直接测量得到，因此需要通过状态估计的方法来获取系统的状态信息。常用的状态估计算法包括卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器（适用于非线性系统）等。

在基于状态空间模型的 MPC 中，状态估计具有至关重要的作用。通过状态估计，可以利用可测量的输出变量和输入变量来估计系统的不可测状态，为 MPC 的预测和优化提供准确的状态信息。例如，在工业过程中，某些化学反应的中间产物浓度难以直接测量，通过状态估计可以根据可测量的温度、压力等变量估计出中间产物浓度，从而实现基于这些状态的 MPC 控制。

状态估计的精度直接影响 MPC 的控制性能。如果状态估计存在较大误差，可能导致 MPC 的预测结果不准确，进而影响优化控制量的计算，使系统的控制效果变差。因此，在基于状态空间模型的 MPC 设计中，需要选择合适的状态估计算法，并对其性能进行评估和优化。

四、多变量状态空间 MPC 的挑战与应对策略

（一）计算复杂度问题

多变量状态空间 MPC 在处理复杂系统时，由于需要考虑多个变量和较长的预测时域，优化问题的规模较大，导致计算复杂度增加。这可能会使 MPC 的求解时间过长，无法满足实时控制的要求，尤其是在快速动态系统中。

为了应对计算复杂度问题，可以采取以下策略：一是采用简化的模型，在保证模型精度的前提下，减少模型的阶次和变量数量，从而降低优化问题的规模；二是优化求解算法，采用高效的数值优化方法，如内点法、梯度下降法等，提高优化问题的求解速度；三是采用滚动优化的并行计算技术，利用多核处理器或分布式计算平台，同时进行多个预测时域的优化计算，缩短求解时间。

（二）约束处理的复杂性

多变量状态空间 MPC 中存在多种约束条件，如输入约束、输出约束、状态约束等，这些约束之间可能存在相互作用和冲突，增加了约束处理的复杂性。如何在满足所有约束的前提下实现系统的优化控制是一个难题。

应对约束处理复杂性的策略包括：一是采用约束软化技术，将硬约束转化为软约束，在优化目标函数中加入约束违反项，通过权衡约束违反的代价和控制性能，实现一定程度的约束松弛；二是采用约束优先级排序的方法，根据约束的重要性对其进行排序，在优化过程中优先满足重要的约束条件；三是利用可行域分析方法，提前判断约束条件是否可行，避免在不可行的情况下进行无效的优化计算。

（三）系统不确定性的影响

多变量状态空间系统往往存在各种不确定性，如模型参数的不确定性、外部扰动的不确定性等。这些不确定性会导致系统的实际行为与模型预测之间存在偏差，影响 MPC 的控制性能，甚至可能导致系统不稳定。

为了应对系统不确定性的影响，可以采用鲁棒 MPC 的方法。鲁棒 MPC 通过在模型中考虑不确定性的范围，设计具有鲁棒性的优化目标和约束条件，使 MPC 在不确定性存在的情况下仍然能够保证系统的稳定性和控制性能。例如，采用极小极大鲁棒 MPC，在最坏情况下的不确定性扰动下，优化系统的控制性能，确保系统的安全性和稳定性。

另外，自适应 MPC 也是应对系统不确定性的一种有效方法。自适应 MPC 能够根据系统的运行数据在线调整模型参数，使模型能够适应系统的变化，从而提高 MPC 对不确定性的适应能力。

五、结论与展望

（一）研究结论

本研究对模型预测控制（MPC）在多变量和状态空间方面进行了深入探讨。研究表明，MPC 在多变量系统控制中具有显著优势，能够有效处理变量间的耦合关系和各种约束条件，实现多个变量的协同优化控制。状态空间模型作为一种有效的系统描述方法，为 MPC 提供了良好的模型基础，基于状态空间模型的 MPC 能够更全面地考虑系统的内部特性和状态约束，结合状态估计技术可以解决状态变量不可测的问题。

同时，多变量状态空间 MPC 也面临着计算复杂度高、约束处理复杂以及系统不确定性影响等挑战，通过采用简化模型、优化求解算法、约束软化技术、鲁棒 MPC 和自适应 MPC 等策略，可以在一定程度上缓解这些问题，提高 MPC 的性能和实用性。

（二）未来展望

未来，多变量状态空间 MPC 的研究可以从以下几个方面展开：